$2.3.22.$ На нити подвешен шарик. Нить приводят в горизонтальное положение и затем отпускают шарик. В какой точке траектории его ускорение направлено вертикально вверх? вертикально вниз? горизонтально?
Пусть $L$ - длина нити. Ускорение шарика складывается из Тангенциального ускорения (из-за изменения скорости) и центростремительного ускорения (из-за криволинейного движения). Их сумма равняется полному ускорению шарика. В нижней точке траектории (когда нить вертикальна) скорость шарика максимальна, а тангенциальное ускорение = 0, (нет изменения скорости). Остаётся только центростремительное ускорение, направленное вверх к точке подвеса. Ускорение направлено вертикально вверх. В начальный момент (когда нить горизонтальна), скорость шарика = 0, поэтому центростремительное ускорение = 0. Есть только тангенциальное ускорение = $g$, направленное вниз (под действием силы тяжести). Ускорение направлено вертикально вниз. На углу $90^\circ$ от начального положения (когда нить образует угол $45^\circ$ с вертикалью). Горизонтальная компонента $T\sin\alpha$ даёт результирующее горизонтальное ускорение. Тангенциальное и центростремительное ускорения дают равные горизонтальные и вертикальные проекции, но результирующее ускорение направлено горизонтально.
### Ответ:
Вертикально вверх: нижняя точка.
Вертикально вниз: начальная точка (верхняя точка).
Горизонтально: при угле $45^\circ$ от вертикали.
### Правильное решение
@@ -22,3 +22,61 @@Правильное решение
К вопросу о горизонтальном направлении ускорения
+
+
В ответе задачника ошибка/опечатка.
+
+
### Альтернативное решение
+
+
Найдём угол отклонения нити от вертикали, при котором ускорение шарика будет иметь горизонтальное направление ещё одним способом. Будем использовать рисунок из правильного решения.
+
+
Поскольку центростремительное ускорение ($\vec a_{n}$) направлено вдоль нити, а тангенциальное ($\vec a_{\tau}$) — перпендикулярно нити, их векторная сумма образует прямоугольный треугольник. Для того чтобы суммарное ускорение было горизонтально, сумма векторов $\vec a_{n}$ и $\vec a_{\tau}$ должна быть горизонтальна. В искомой точке вертикальная составляющая результирующего вектора должна быть равна 0:
+
+
$$a_{верт}=a_{n}\cos\alpha-a_{\tau}\sin\alpha=0$$
+
+
Отсюда:
+
+
$$a_{n}\cos\alpha=a_{\tau}\sin\alpha\tag{1}$$
+
+
Тангенциальное ускорение обусловлено силой тяжести: $a_{\tau}=g\sin\alpha\tag{2}$.
+
+
Центростремительное ускорение равно:
+
+
$$a_{n}=\frac{\upsilon^{2}}{R}$$
+
+
Скорость в искомой точке найдём из закона сохранения энергии. Нулевой уровень потенциальной энергии примем нижнее положение шарика на траектории. Тогда:
Чтоб не смущать читателей, покажу, что $\tan\alpha=\sqrt{2}$ это тоже самое, что $\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}$:
+
+
$$(\tan\alpha)^{2}=2$$
+
$$\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}=2$$
+
$$\frac{1-\cos^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}=2$$
+
$$1-\cos^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha$$
+
$$\cos^{2}\alpha=\frac{1}{3}$$
+
$$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
+
+
### Ответ:
+
+
Ускорение направлено горизонтально в точке, где угол отклонения нити от вертикали равно:
+
+
$$\alpha=\arccos\frac{1}{\sqrt{3}}$$
+
+
или через тангенс:
+
+
$$\alpha=\arctan(\sqrt{2})$$
### Условие
### Условие
$2.3.22.$ На нити подвешен шарик. Нить приводят в горизонтальное положение и затем отпускают шарик. В какой точке траектории его ускорение направлено вертикально вверх? вертикально вниз? горизонтально?
$2.3.22.$ На нити подвешен шарик. Нить приводят в горизонтальное положение и затем отпускают шарик. В какой точке траектории его ускорение направлено вертикально вверх? вертикально вниз? горизонтально?
Пусть $L$ - длина нити. Ускорение шарика складывается из Тангенциального ускорения (из-за изменения скорости) и центростремительного ускорения (из-за криволинейного движения). Их сумма равняется полному ускорению шарика. В нижней точке траектории (когда нить вертикальна) скорость шарика максимальна, а тангенциальное ускорение = 0, (нет изменения скорости). Остаётся только центростремительное ускорение, направленное вверх к точке подвеса. Ускорение направлено вертикально вверх. В начальный момент (когда нить горизонтальна), скорость шарика = 0, поэтому центростремительное ускорение = 0. Есть только тангенциальное ускорение = $g$, направленное вниз (под действием силы тяжести). Ускорение направлено вертикально вниз. На углу $90^\circ$ от начального положения (когда нить образует угол $45^\circ$ с вертикалью). Горизонтальная компонента $T\sin\alpha$ даёт результирующее горизонтальное ускорение. Тангенциальное и центростремительное ускорения дают равные горизонтальные и вертикальные проекции, но результирующее ускорение направлено горизонтально.
Пусть $L$ - длина нити. Ускорение шарика складывается из Тангенциального ускорения (из-за изменения скорости) и центростремительного ускорения (из-за криволинейного движения). Их сумма равняется полному ускорению шарика. В нижней точке траектории (когда нить вертикальна) скорость шарика максимальна, а тангенциальное ускорение = 0, (нет изменения скорости). Остаётся только центростремительное ускорение, направленное вверх к точке подвеса. Ускорение направлено вертикально вверх. В начальный момент (когда нить горизонтальна), скорость шарика = 0, поэтому центростремительное ускорение = 0. Есть только тангенциальное ускорение = $g$, направленное вниз (под действием силы тяжести). Ускорение направлено вертикально вниз. На углу $90^\circ$ от начального положения (когда нить образует угол $45^\circ$ с вертикалью). Горизонтальная компонента $T\sin\alpha$ даёт результирующее горизонтальное ускорение. Тангенциальное и центростремительное ускорения дают равные горизонтальные и вертикальные проекции, но результирующее ускорение направлено горизонтально.
### Ответ:
### Ответ:
Вертикально вверх: нижняя точка.
Вертикально вверх: нижняя точка.
Вертикально вниз: начальная точка (верхняя точка).
Вертикально вниз: начальная точка (верхняя точка).
Горизонтально: при угле $45^\circ$ от вертикали.
Горизонтально: при угле $45^\circ$ от вертикали.
### Правильное решение
### Правильное решение
@@ -22,3 +22,61 @@Правильное решение
К вопросу о горизонтальном направлении ускорения
К вопросу о горизонтальном направлении ускорения
В ответе задачника ошибка/опечатка.
### Альтернативное решение
Найдём угол отклонения нити от вертикали, при котором ускорение шарика будет иметь горизонтальное направление ещё одним способом. Будем использовать рисунок из правильного решения.
Поскольку центростремительное ускорение ($\vec a_{n}$) направлено вдоль нити, а тангенциальное ($\vec a_{\tau}$) — перпендикулярно нити, их векторная сумма образует прямоугольный треугольник. Для того чтобы суммарное ускорение было горизонтально, сумма векторов $\vec a_{n}$ и $\vec a_{\tau}$ должна быть горизонтальна. В искомой точке вертикальная составляющая результирующего вектора должна быть равна 0:
$$a_{верт}=a_{n}\cos\alpha-a_{\tau}\sin\alpha=0$$
Отсюда:
$$a_{n}\cos\alpha=a_{\tau}\sin\alpha\tag{1}$$
Тангенциальное ускорение обусловлено силой тяжести: $a_{\tau}=g\sin\alpha\tag{2}$.
Центростремительное ускорение равно:
$$a_{n}=\frac{\upsilon^{2}}{R}$$
Скорость в искомой точке найдём из закона сохранения энергии. Нулевой уровень потенциальной энергии примем нижнее положение шарика на траектории. Тогда:
