Edit to “Условие”
ru/8.2.20.md
+1 −1
| @@ -1,8 +1,8 @@ | |||
| ### Условие | |||
| $8.2.20.$ Радиусы обкладок сферического конденсатора соответственно $r_{1}$ и $r_{2}$, заряд $\pm q$. Найдите сопротивление и ток утечки в этом конденсаторе, если между обкладками находится вещество с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и удельной проводимостью $\lambda$. | |||
| − |  | ||
| ### Решение | |||
| Мысленно выделим сферический слой внутренним радиусом $r$ и внешним радиусом $r+dr$. Площадь поверхности даного слоя будет $S=4\pi r^{2}$, его длина $dr$, удельное сопротивление вещества в слое $\rho=\frac{1}{\lambda}$, тогда сопротивление данного слоя будет: | |||
| $$dR=\rho\frac{l}{S}=\frac{1}{\lambda}\cdot \frac{dr}{4\pi r^{2}}$$ | |||
| Путём интегрирования найдём полное сопротивление конденсатора: | |||
| $$R=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dr}{\lambda\cdot 4\pi r^{2}}=\left[ -\frac{1}{4\pi\lambda r} \right]_{r_{1}}^{r_{2}}=\frac{1}{4\pi\lambda}\left( \frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}} \right)$$ | |||
| Напряжение $U$ между обкладками сферического конденсатора: | |||
| $$U=\frac{q}{4\pi\varepsilon\varepsilon_{0}}\left( \frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}} \right)$$ | |||
| Ток утечки: | |||
| $$I=\frac{U}{R}$$ | |||
| $$I=\frac{\frac{q}{4\pi\varepsilon\varepsilon_{0}}\left( \frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}} \right)}{\frac{1}{4\pi\lambda}\left( \frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}} \right)}=\frac{q\lambda}{\varepsilon\varepsilon_{0}}$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$R=\frac{1}{4\pi\lambda}\left( \frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}} \right)$$ | |||
| $$I=\frac{\lambda q}{\varepsilon\varepsilon_{0}}$$ | |||
| unchanged lines 22 | |||
| @@ -1,8 +1,8 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $8.2.20.$ Радиусы обкладок сферического конденсатора соответственно $r_{1}$ и $r_{2}$, заряд $\pm q$. Найдите сопротивление и ток утечки в этом конденсаторе, если между обкладками находится вещество с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и удельной проводимостью $\lambda$. | $8.2.20.$ Радиусы обкладок сферического конденсатора соответственно $r_{1}$ и $r_{2}$, заряд $\pm q$. Найдите сопротивление и ток утечки в этом конденсаторе, если между обкладками находится вещество с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и удельной проводимостью $\lambda$. | ||
|  | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Мысленно выделим сферический слой внутренним радиусом $r$ и внешним радиусом $r+dr$. Площадь поверхности даного слоя будет $S=4\pi r^{2}$, его длина $dr$, удельное сопротивление вещества в слое $\rho=\frac{1}{\lambda}$, тогда сопротивление данного слоя будет: | Мысленно выделим сферический слой внутренним радиусом $r$ и внешним радиусом $r+dr$. Площадь поверхности даного слоя будет $S=4\pi r^{2}$, его длина $dr$, удельное сопротивление вещества в слое $\rho=\frac{1}{\lambda}$, тогда сопротивление данного слоя будет: | ||
| $$dR=\rho\frac{l}{S}=\frac{1}{\lambda}\cdot \frac{dr}{4\pi r^{2}}$$ | $$dR=\rho\frac{l}{S}=\frac{1}{\lambda}\cdot \frac{dr}{4\pi r^{2}}$$ | ||
| Путём интегрирования найдём полное сопротивление конденсатора: | Путём интегрирования найдём полное сопротивление конденсатора: | ||
| $$R=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dr}{\lambda\cdot 4\pi r^{2}}=\left[ -\frac{1}{4\pi\lambda r} \right]_{r_{1}}^{r_{2}}=\frac{1}{4\pi\lambda}\left( \frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}} \right)$$ | $$R=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dr}{\lambda\cdot 4\pi r^{2}}=\left[ -\frac{1}{4\pi\lambda r} \right]_{r_{1}}^{r_{2}}=\frac{1}{4\pi\lambda}\left( \frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}} \right)$$ | ||
| Напряжение $U$ между обкладками сферического конденсатора: | Напряжение $U$ между обкладками сферического конденсатора: | ||
| $$U=\frac{q}{4\pi\varepsilon\varepsilon_{0}}\left( \frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}} \right)$$ | $$U=\frac{q}{4\pi\varepsilon\varepsilon_{0}}\left( \frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}} \right)$$ | ||
| Ток утечки: | Ток утечки: | ||
| $$I=\frac{U}{R}$$ | $$I=\frac{U}{R}$$ | ||
| $$I=\frac{\frac{q}{4\pi\varepsilon\varepsilon_{0}}\left( \frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}} \right)}{\frac{1}{4\pi\lambda}\left( \frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}} \right)}=\frac{q\lambda}{\varepsilon\varepsilon_{0}}$$ | $$I=\frac{\frac{q}{4\pi\varepsilon\varepsilon_{0}}\left( \frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}} \right)}{\frac{1}{4\pi\lambda}\left( \frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}} \right)}=\frac{q\lambda}{\varepsilon\varepsilon_{0}}$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$R=\frac{1}{4\pi\lambda}\left( \frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}} \right)$$ | $$R=\frac{1}{4\pi\lambda}\left( \frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}} \right)$$ | ||
| $$I=\frac{\lambda q}{\varepsilon\varepsilon_{0}}$$ | $$I=\frac{\lambda q}{\varepsilon\varepsilon_{0}}$$ | ||
| unchanged lines 22 | |||