Решение

Перед решением этой задачи рекомендую ознакомится с задачей 10.1.10.

Иллюстрация и идея решения взята из издания "Слободянюк А.И.
«Очень длинные физические задачи» Часть 2. Задачи 10 – 18"

Рассмотрим группу частиц вылетевших под одинаковыми углами $\beta$ к оси
пучка. За некоторый промежуток времени t они пройдут дугу окружности
$ϕ = \frac{2πt}{T}$ (T- циклотронный период) радиуса $R=\frac{m_evsin\beta}{eB}$, удалятся от оси пучка на расстояние $r=\mid2Rsin\frac{\varphi}{2}\mid$ и сместятся на расстояние $x = vt cos\beta$ вдоль этой оси. Из этого получим:

$r=\mid2\frac{m_evsin\beta}{eB}sin\frac{2\pi x}{2Tvcos\beta}\mid=\mid2\frac{m_evsin\beta}{eB}sin\frac{eBx}{2m_evcos\beta}\mid$ (1)

$\beta\leq\frac{δα}{2}$, угол $δα$ малый, значит $cos\beta\approx1$, $sin\beta\approx\beta$ (Допущение 2)

Ширина пучка будет определяться частицами, вылетевшими под максимальным углом $\beta=\frac{\delta\alpha}{2}$, то есть функция
зависимости радиуса пучка от координаты x имеет вид

$r(x)=\frac{mv(\delta\alpha)}{eB}\mid sin(\frac{eBx}{2mv})\mid$ (2)

Минимумам данной функции соответствуют "фокусные расстояния" системы:

$x_f=\frac{2\pi mv}{eB}k, k\in N$ (3)

Заметим, что при малых $k$ Допушение 1 работает лучше (см. рис.), поэтому в ответ записываем значение при $k=1$

Для определения ширины пучка в области фокуса необходимо учесть
зависимость продольной компоненты скорости от угла вылета. Для этого внесем в Допушение 2 уточнение для косинуса: $cos\beta\approx1-\frac{\beta^2}{2}$ (Допущение 3), и перепишем уравнение (1) для области фокуса:

$r(x)=\frac{2m_ev\beta}{eB}\mid sin(\frac{eBx_f}{2m_ev(1-\frac{\beta^2}{2})})\mid=\frac{2m_ev\beta}{eB}\mid sin(\frac{\pi}{1-\frac{\beta^2}{2}})\mid$ (4)
Максимальное значение этой функции соответствует максимальному углу
вылета, поэтому ширина пучка определяется формулой

$r_{max}=\frac{m_ev(\delta\alpha))}{eB}\mid sin(\frac{\pi}{1-\frac{\delta\alpha^2}{8}})\mid\approx\frac{πm_ev(δα)^3}{8eB}$