| @@ -1,51 +1,41 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $10.1.12^*$ Вдоль однородного магнитного поля индукции $B$ из одной точки |
| $10.1.12^*$ Вдоль однородного магнитного поля индукции $B$ из одной точки со скоростью $v$ вылетают электроны, имея малый угловой разброс $δα$. Определите, на каком расстоянии от места вылета пучок будет иметь минимальный поперечный размер, и оцените его. |
| со скоростью $v$ вылетают электроны, имея малый угловой разброс $δα$. Определите, на каком расстоянии от места вылета пучок будет иметь минимальный |
| |
| поперечный размер, и оцените его. |
| |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| Перед решением этой задачи рекомендую ознакомится с задачей 10.1.10. |
| Перед решением этой задачи рекомендую ознакомится с задачей 10.1.10. |
| |
| |
| Иллюстрация и идея решения взята из издания "Слободянюк А.И. |
| Иллюстрация и идея решения взята из издания "Слободянюк А.И. «Очень длинные физические задачи» Часть 2. Задачи 10 – 18" |
| «Очень длинные физические задачи» Часть 2. Задачи 10 – 18" |
| |
|  |
|  |
| Движение каждой частицы будет |
| |
| происходить по винтовой линии, радиус которой зависит от угла вылета частицы. |
| |
| Причем все спирали не будут соосны, а будут |
| |
| касаться одной прямой - оси пучка. Если угол вылета частиц к вектору магнитной индукции мал, то все |
| |
| траектории-спирали будут иметь приблизительно одинаковый шаг (Допущение 1), |
| |
| поэтому на расстоянии шага спирали будет наблюдаться эффект |
| |
| фокусировки частиц. |
| |
| |
| |
| Рассмотрим группу частиц вылетевших под одинаковыми углами $\beta$ к оси |
| Движение каждой частицы будет происходить по винтовой линии, радиус которой зависит от угла вылета частицы. Причем все спирали не будут соосны, а будут касаться одной прямой - оси пучка. Если угол вылета частиц к вектору магнитной индукции мал, то все траектории-спирали будут иметь приблизительно одинаковый шаг (Допущение 1), поэтому на расстоянии шага спирали будет наблюдаться эффект фокусировки частиц. |
| пучка. За некоторый промежуток времени t они пройдут дугу окружности |
| |
| $ϕ = \frac{2πt}{T}$ (T- циклотронный период) радиуса $R=\frac{m_evsin\beta}{eB}$, удалятся от оси пучка на расстояние $r=\mid2Rsin\frac{\varphi}{2}\mid$ и сместятся на расстояние $x = vt cos\beta$ вдоль этой оси. Из этого получим: |
| |
| |
| |
| $r=\mid2\frac{m_evsin\beta}{eB}sin\frac{2\pi x}{2Tvcos\beta}\mid=\mid2\frac{m_evsin\beta}{eB}sin\frac{eBx}{2m_evcos\beta}\mid$ (1) |
| Рассмотрим группу частиц вылетевших под одинаковыми углами $\beta$ к оси пучка. За некоторый промежуток времени t они пройдут дугу окружности $ϕ = \frac{2πt}{T}$ ($T$ - циклотронный период) радиуса $R=\frac{m_ev\sin\beta}{eB}$, удалятся от оси пучка на расстояние $r=\mid2R\sin\frac{\varphi}{2}\mid$ и сместятся на расстояние $x = vt \cos\beta$ вдоль этой оси. Из этого получим: |
| |
| |
| $\beta\leq\frac{δα}{2}$, угол $δα$ малый, значит $cos\beta\approx1$, $sin\beta\approx\beta$ (Допущение 2) |
| $$r=\mid2\frac{m_ev\sin\beta}{eB}\sin\frac{2\pi x}{2Tv\cos\beta}\mid=\mid2\frac{m_ev\sin\beta}{eB}\sin\frac{eBx}{2m_ev\cos\beta}\tag{1}$$ |
| |
| |
| Ширина пучка будет определяться частицами, вылетевшими под максимальным углом $\beta=\frac{\delta\alpha}{2}$, то есть функция |
| $\beta\leq\frac{δα}{2}$, угол $δα$ малый, значит $\cos\beta\approx1$, $\sin\beta\approx\beta$ (Допущение 2) |
| зависимости радиуса пучка от координаты x имеет вид |
| |
| |
| |
| $r(x)=\frac{mv(\delta\alpha)}{eB}\mid sin(\frac{eBx}{2mv})\mid$ (2) |
| Ширина пучка будет определяться частицами, вылетевшими под максимальным углом $\beta=\frac{\delta\alpha}{2}$, то есть функция зависимости радиуса пучка от координаты x имеет вид |
| |
| |
| |
| $$r(x)=\frac{mv(\delta\alpha)}{eB}\mid \sin\left(\frac{eBx}{2mv}\right)\tag{2}$$ |
| |
| |
| Минимумам данной функции соответствуют "фокусные расстояния" системы: |
| Минимумам данной функции соответствуют "фокусные расстояния" системы: |
| |
| |
| $x_f=\frac{2\pi mv}{eB}k, k\in N$ (3) |
| $$x_f=\frac{2\pi mv}{eB}k, k\in N \tag{3}$$ |
| |
| |
| Заметим, что при малых $k$ Допушение 1 работает лучше (см. рис.), поэтому в ответ записываем значение при $k=1$ |
| Заметим, что при малых $k$ Допушение 1 работает лучше (см. рис.), поэтому в ответ записываем значение при $k=1$ |
| |
| |
| Для определения ширины пучка в области фокуса необходимо учесть |
| Для определения ширины пучка в области фокуса необходимо учесть зависимость продольной компоненты скорости от угла вылета. Для этого внесем в Допушение 2 уточнение для косинуса: $\cos\beta\approx1-\frac{\beta^2}{2}$ (Допущение 3), и перепишем уравнение (1) для области фокуса: |
| зависимость продольной компоненты скорости от угла вылета. Для этого внесем в Допушение 2 уточнение для косинуса: $cos\beta\approx1-\frac{\beta^2}{2}$ (Допущение 3), и перепишем уравнение (1) для области фокуса: |
| |
| |
| |
| $r(x)=\frac{2m_ev\beta}{eB}\mid sin(\frac{eBx_f}{2m_ev(1-\frac{\beta^2}{2})})\mid=\frac{2m_ev\beta}{eB}\mid sin(\frac{\pi}{1-\frac{\beta^2}{2}})\mid$ (4) |
| $$r(x)=\frac{2m_ev\beta}{eB} \mid \sin\left(\frac{eBx_f}{2m_ev(1-\frac{\beta^2}{2})}\right)\mid=\frac{2m_ev\beta}{eB}\mid \sin\left(\frac{\pi}{1-\frac{\beta^2}{2}}\right)\tag{4}$$ |
| Максимальное значение этой функции соответствует максимальному углу |
| |
| вылета, поэтому ширина пучка определяется формулой |
| |
| |
| |
| $r_{max}=\frac{m_ev(\delta\alpha))}{eB}\mid sin(\frac{\pi}{1-\frac{\delta\alpha^2}{8}})\mid\approx\frac{πm_ev(δα)^3}{8eB}$ |
| Максимальное значение этой функции соответствует максимальному углу вылета, поэтому ширина пучка определяется формулой |
| |
| |
| |
| $$r_{max}=\frac{m_ev(\delta\alpha))}{eB}\mid \sin\left(\frac{\pi}{1-\frac{\delta\alpha^2}{8}}\right)\mid\approx\frac{πm_ev(δα)^3}{8eB}$$ |
| |
| |
| #### Ответ |
| #### Ответ |
| |
| |
| $x_f = \frac{2πm_ev}{eB}, r_{max} = \frac{πm_ev(δα)^3}{8eB}$ |
| $x_f = \frac{2πm_ev}{eB}, r_{max} = \frac{πm_ev(δα)^3}{8eB}$ |
