Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #14638 parent #14636 ← older newer →
ru/5.6.21.md +48 −3
@@ -1,11 +1,56 @@
### Условие
−$5.6.21.$ [Вставьте условие задачи]
+$5.6.21.$ Сухой воздух переносится слабым ветром через горный перевал высотой 1 км. Оцените, на сколько температура воздуха на перевале ниже, чем у подножья гор.
### Решение
−dfg
+В процессе решения задачи нам потребуется использовать уравнение гидростатического равновесия столба воздуха. Выведем его.
+Возьмём элементарный цилиндр воздуха с площадью основания $S$, высотой $dz$. Масса сухого воздуха заключенного в данном цилиндре: $m=\rho Sdz$. Эта масса испытывает силу давления нижних слоёв воздуха: $F_{1}=PS$, силу давления верхних слоёв воздуха: $F_{2}=(P+dP)S$, а также силу тяжести: $F_{3}=\rho gSdz$.
+
+В стационарном случае сумма проекций сил на вертикальное направление ($z$) должна равняться нулю - это условие равновесия:
+
+$$F_{1}-F_{2}-F_{3}=0$$
+$$PS-(P+dP)S-\rho gSdz=0$$
+
+Упрощаем:
+
+$$dP=-\rho gdz$$
+$$\frac{dP}{dz}=-\rho g \tag{1}$$
+
+Это есть уравнение гидростатического равновесия.
+
+Для восходящего сухого воздуха предполагаем, что процесс адиабатический (нет теплообмена с окружающей средой). Запишем первое начало термодинамики в дифференциальной форме:
+
+$$dU+dA=\delta Q \tag{2}$$
+
+Для идеального газа изменение внутренней энергии воздуха ($\nu$ молей):
+
+$$dU=\nu C_{V}dT \tag{3}$$
+
+Работа воздуха при адиабатическом расширении:
+
+$$dA=PdV$$
+
+Уравнение состояния идеального газа:
+
+$$PV=\nu RT$$
+
+Продифференцируем его как сложную функцию:
+
+$$VdP+PdV=\nu RdT$$
+$$PdV=\nu RdT-VdP$$
+
+Следовательно:
+
+$$dA=\nu RdT-VdP \tag{4}$$
+
+При адиабатическом процессе $\delta Q=0$, подставим (3) и (4) в (2):
+
+$$\nu C_{V}dT+\nu RdT-VdP=0$$
+
+Используя связь между теплоёмкостями
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$\Delta T\approx 10^{\circ }\text{C}$