Решение

В процессе решения задачи нам потребуется использовать уравнение гидростатического равновесия столба воздуха. Выведем его.

Возьмём элементарный цилиндр воздуха с площадью основания $S$, высотой $dz$. Масса сухого воздуха заключенного в данном цилиндре: $m=\rho Sdz$. Эта масса испытывает силу давления нижних слоёв воздуха: $F_{1}=PS$, силу давления верхних слоёв воздуха: $F_{2}=(P+dP)S$, а также силу тяжести: $F_{3}=\rho gSdz$.

В стационарном случае сумма проекций сил на вертикальное направление ($z$) должна равняться нулю - это условие равновесия:

$$F_{1}-F_{2}-F_{3}=0$$
$$PS-(P+dP)S-\rho gSdz=0$$

Упрощаем:

$$dP=-\rho gdz$$
$$\frac{dP}{dz}=-\rho g \tag{1}$$

Это есть уравнение гидростатического равновесия.

Для восходящего сухого воздуха предполагаем, что процесс адиабатический (нет теплообмена с окружающей средой). Запишем первое начало термодинамики в дифференциальной форме:

$$dU+dA=\delta Q \tag{2}$$

Для идеального газа изменение внутренней энергии воздуха ($\nu$ молей):

$$dU=\nu C_{V}dT \tag{3}$$

Работа воздуха при адиабатическом расширении:

$$dA=PdV$$

Уравнение состояния идеального газа:

$$PV=\nu RT$$

Продифференцируем его как сложную функцию:

$$VdP+PdV=\nu RdT$$
$$PdV=\nu RdT-VdP$$

Следовательно:

$$dA=\nu RdT-VdP \tag{4}$$

При адиабатическом процессе $\delta Q=0$, подставим (3) и (4) в (2):

$$\nu C_{V}dT+\nu RdT-VdP=0$$

Используя связь между теплоёмкостями идеального газа: $C_{P}=C_{V}+R$, получим:

$$\nu C_{P}dT=VdP \tag{5}$$

Количество молей:

$$\nu=\frac{m}{\mu}$$

Объём:

$$V=\frac{m}{\rho}$$

Всё подставим в (5):

$$\frac{m}{\mu} C_{P}dT=\frac{m}{\rho}dP$$
$$dT=\frac{\mu}{\rho C_{P}}dP$$

Поделим левую и правую часть на дифференциал $dz$:

$$\frac{dT}{dz}=\frac{\mu}{\rho C_{P}}\cdot \frac{dP}{dz}$$

Теперь воспользуемся уравнением гидростатического равновесия:

$$\frac{dT}{dz}=\frac{\mu}{\rho C_{P}}\cdot (-\rho g)$$
$$dT=-\frac{\mu g}{C_{P}}dz$$

Проинтегрируем в пределах по температуре от температуры у подножия горного перевала до температуры на перевале и по высоте от 0 до высоты перевала $H$:

$$\int_{T_{под}}^{T_{пер}}dT=-\frac{\mu g}{C_{P}}\int_{0}^{H}dz$$
$$T_{под}-T_{пер}=\Delta T=\frac{\mu gH}{C_{P}} \tag{6}$$

Считаем воздух двухатомным газом с 5 степенями свободы (3 поступательных, 2 вращательных), тогда:

$$C_{P}=C_{V}+R=\frac{5}{2}R+R=\frac{7}{2}R$$

Окончательно:

$$\Delta T=\frac{2\mu gH}{7R}$$

Молярная масса воздуха $\mu=29\cdot10^{-3}\text{ кг/моль}$. Подставим числовые значения величин:

$$\Delta T=\frac{2\cdot 29\cdot 10^{-3}\cdot 9,8\cdot 10^{3}}{7\cdot 8,31}\approx 9,77\approx 10^{\circ }\text{C}$$