Решение

Из условий заземления (нулевой потенциал) электрон приобретает скорость $v_0$, при этом энергия электрона не меняется.

$$e V_0 = \frac{mv_0^2}{2}$$

Заряд $q$ на горизонтальных пластинах выводим из уравнения конденсатора, учитывая что щель имеет форму окружности.

$$q = 2 \pi R C V$$

Так как распределение заряда имеет осевую симметрию, рассмотрим взаимодействие электрона и суммарного заряда горизонтальных пластин как взаимодействие двух точечных зарядов.

Так как по условиям задачи угол $\alpha$ достаточно мал, предположим что горизонтальная скорость меняется незначительно.

$$E(\theta) = \frac{kq}{(r/sin(\theta))^2}$$
$$F(\theta)=eE(\theta)=\frac{kq}{(r/sin(\theta))^2}$$
$$dr=vdt$$
$$F_y=Fsin(\theta)$$
$$dP_y=F_ydt=\frac{kqe}{vr}sin(\theta)d\theta$$
$$P_y=\frac{kqe}{vr}\int_{0}^{\pi}sin(\theta)d\theta = \frac{2kqe}{vr}$$
$$P_x = mv$$
$$tan(\alpha)=\frac{P_y}{P_x} = \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0 m v_0^2 R}$$
$$\alpha \approx \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0 m v_0^2 R}$$

Теперь подставляем значение $q,e$ и сравниваем с формулой из задачи.

$$\alpha \approx \frac{CV}{2 \epsilon_0 V_0}$$
$$k=\frac{1}{2 \epsilon_0}$$