Edit to “Условие”

ar4senN edited Jun 11, 2025, 7:18 PM

View solution History

revision #14695 parent #14692 ← older

ru/7.1.28.md +2 −0

			### Условие

			Через щель, на которую подана разность потенциалов $V$ , пролетают электроны. Емкость единицы длины щели $C$. При малых значениях $V$ угол
		@@ -4,6 +4,8 @@Условие
			отклонения электронов полем щели пропорционален произведению $C$ на $V$ и обаратно пропорционален $V_0$ ($e V_0$ — начальная энергия электронов): $α ≈ kCV /V0$.
			Определите коэффициент $k$.

		+	![К задаче $7.1.28$\|573x262, 50%](../../img/7.1.28/photo_5355022648821807439_x.jpg)
		+
			### Решение

			Из условий заземления (нулевой потенциал) электрон приобретает скорость $v_0$, при этом энергия электрона не меняется.

			$$e V_0 = \frac{mv_0^2}{2} $$

			Заряд $q$ на горизонтальных пластинах выводим из уравнения конденсатора, учитывая что щель имеет форму окружности.

			$$q = 2 \pi R C V$$

			Так как распределение заряда имеет осевую симметрию, рассмотрим взаимодействие электрона и суммарного заряда горизонтальных пластин как взаимодействие двух точечных зарядов.

			Так как по условиям задачи угол $\alpha$ достаточно мал, предположим что горизонтальная скорость меняется незначительно.

			$$E(\theta) = \frac{kq}{(r/sin(\theta))^2} $$\
			$$F(\theta)=eE(\theta)=\frac{kq}{(r/sin(\theta))^2}$$\
			$$dr=vdt$$\
			$$F_y=Fsin(\theta)$$\
			$$dP_y=F_ydt=\frac{kqe}{vr}sin(\theta)d\theta$$\
			$$P_y=\frac{kqe}{vr}\int_{0}^{\pi}sin(\theta)d\theta = \frac{2kqe}{vr}$$\
			$$P_x = mv$$\
			$$tan(\alpha)=\frac{P_y}{P_x} = \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0 m v_0^2 R}$$\
			$$\alpha \approx \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0 m v_0^2 R}$$

			Теперь подставляем значение $q,e$ и сравниваем с формулой из задачи.

			$$\alpha \approx \frac{CV}{2 \epsilon_0 V_0}$$\
			$$k=\frac{1}{2 \epsilon_0}$$

			#### Ответ

			$$k=\frac{1}{2 \epsilon_0}$$
		unchanged lines 29

	### Условие		### Условие

	Через щель, на которую подана разность потенциалов $V$ , пролетают электроны. Емкость единицы длины щели $C$. При малых значениях $V$ угол		Через щель, на которую подана разность потенциалов $V$ , пролетают электроны. Емкость единицы длины щели $C$. При малых значениях $V$ угол
	@@ -4,6 +4,8 @@Условие
	отклонения электронов полем щели пропорционален произведению $C$ на $V$ и обаратно пропорционален $V_0$ ($e V_0$ — начальная энергия электронов): $α ≈ kCV /V0$.		отклонения электронов полем щели пропорционален произведению $C$ на $V$ и обаратно пропорционален $V_0$ ($e V_0$ — начальная энергия электронов): $α ≈ kCV /V0$.
	Определите коэффициент $k$.		Определите коэффициент $k$.

			![К задаче $7.1.28$\|573x262, 50%](../../img/7.1.28/photo_5355022648821807439_x.jpg)

	### Решение		### Решение

	Из условий заземления (нулевой потенциал) электрон приобретает скорость $v_0$, при этом энергия электрона не меняется.		Из условий заземления (нулевой потенциал) электрон приобретает скорость $v_0$, при этом энергия электрона не меняется.

	$$e V_0 = \frac{mv_0^2}{2} $$		$$e V_0 = \frac{mv_0^2}{2} $$

	Заряд $q$ на горизонтальных пластинах выводим из уравнения конденсатора, учитывая что щель имеет форму окружности.		Заряд $q$ на горизонтальных пластинах выводим из уравнения конденсатора, учитывая что щель имеет форму окружности.

	$$q = 2 \pi R C V$$		$$q = 2 \pi R C V$$

	Так как распределение заряда имеет осевую симметрию, рассмотрим взаимодействие электрона и суммарного заряда горизонтальных пластин как взаимодействие двух точечных зарядов.		Так как распределение заряда имеет осевую симметрию, рассмотрим взаимодействие электрона и суммарного заряда горизонтальных пластин как взаимодействие двух точечных зарядов.

	Так как по условиям задачи угол $\alpha$ достаточно мал, предположим что горизонтальная скорость меняется незначительно.		Так как по условиям задачи угол $\alpha$ достаточно мал, предположим что горизонтальная скорость меняется незначительно.

	$$E(\theta) = \frac{kq}{(r/sin(\theta))^2} $$\		$$E(\theta) = \frac{kq}{(r/sin(\theta))^2} $$\
	$$F(\theta)=eE(\theta)=\frac{kq}{(r/sin(\theta))^2}$$\		$$F(\theta)=eE(\theta)=\frac{kq}{(r/sin(\theta))^2}$$\
	$$dr=vdt$$\		$$dr=vdt$$\
	$$F_y=Fsin(\theta)$$\		$$F_y=Fsin(\theta)$$\
	$$dP_y=F_ydt=\frac{kqe}{vr}sin(\theta)d\theta$$\		$$dP_y=F_ydt=\frac{kqe}{vr}sin(\theta)d\theta$$\
	$$P_y=\frac{kqe}{vr}\int_{0}^{\pi}sin(\theta)d\theta = \frac{2kqe}{vr}$$\		$$P_y=\frac{kqe}{vr}\int_{0}^{\pi}sin(\theta)d\theta = \frac{2kqe}{vr}$$\
	$$P_x = mv$$\		$$P_x = mv$$\
	$$tan(\alpha)=\frac{P_y}{P_x} = \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0 m v_0^2 R}$$\		$$tan(\alpha)=\frac{P_y}{P_x} = \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0 m v_0^2 R}$$\
	$$\alpha \approx \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0 m v_0^2 R}$$		$$\alpha \approx \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0 m v_0^2 R}$$

	Теперь подставляем значение $q,e$ и сравниваем с формулой из задачи.		Теперь подставляем значение $q,e$ и сравниваем с формулой из задачи.

	$$\alpha \approx \frac{CV}{2 \epsilon_0 V_0}$$\		$$\alpha \approx \frac{CV}{2 \epsilon_0 V_0}$$\
	$$k=\frac{1}{2 \epsilon_0}$$		$$k=\frac{1}{2 \epsilon_0}$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$k=\frac{1}{2 \epsilon_0}$$		$$k=\frac{1}{2 \epsilon_0}$$
	unchanged lines 29