Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #14742 parent #14741 ← older
ru/4.4.7.md +41 −3
@@ -1,11 +1,49 @@
### Условие
−$4.4.7.$ [Вставьте условие задачи]
+$4.4.7.$ Тонкая цилиндрическая трубка длины $l$ и диаметра $d$ целиком заполнена жидкостью плотности $\rho$ и вязкости $\eta$. Определите время вытекания жидкости из трубки, если ее ось наклонена к горизонту под углом $\alpha$.
### Решение
−fgj
+Пусть в трубке будет жидкость длиной $x$, тогда перепад давлений, создаваемое собственным весом столба жидкости:
+$$\Delta P=\rho gx\sin\alpha \tag{1}$$
+
+так как $g\sin\alpha$ - проекция ускорения тяжести вдоль оси трубки.
+
+Для ламинарного течения в цилиндрической трубке объёмный расход (закон Пуазейля, смотри задачу $4.4.5$):
+
+$$Q=\frac{\pi R^{4}}{8\eta x}\Delta P \tag{2}$$
+
+Подставим (1) в (2):
+
+$$Q=\frac{\pi R^{4}}{8\eta x}\rho gx\sin\alpha=\frac{\pi R^{4}\rho g\sin\alpha}{8\eta} \tag{3}$$
+
+Итак, объёмный расход жидкости не зависит от текущей длины ($x$) столба жидкости — он постоянен, пока трубка заполнена.
+
+По определению объёмный расход это объем жидкости, перетекающей в единицу времени:
+
+$$Q=S\upsilon$$
+
+где $S$ - площадь поперечного сечения трубки, $\upsilon$ - скорость вытекания жидкости.
+
+Тогда:
+
+$$\upsilon=\frac{Q}{S}=\frac{Q}{\pi R^{2}} \tag{4}$$
+
+Подставим (3) в (4):
+
+$$\upsilon=\frac{1}{\pi R^{2}}\cdot \frac{\pi R^{4}\rho g\sin\alpha}{8\eta}=\frac{R^{2}\rho g\sin\alpha}{8\eta}$$
+
+В процессе вытекания крайняя граница жидкости должна пройти весь путь $l$:
+
+$$t=\frac{l}{\upsilon}=\frac{8\eta l}{R^{2}\rho g\sin\alpha}$$
+
+Выразим радиус через диаметр: $R=\frac{d}{2}$.
+
+Окончательно получим:
+
+$$t=\frac{32\eta l}{\rho gd^{2}\sin\alpha}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$t=\frac{32\eta l}{\rho gd^{2}\sin\alpha}$$