Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/6.6.16.md
+34 −7
| @@ -1,15 +1,42 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $6.6.16.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $6.6.16.$ Вдали от точечного заряда $Q$ расположена диэлектрическая пластинка площади $S$, причем линейные размеры пластинки много меньше расстояния $R$ между нею и зарядом. Плоскость пластинки перпендикулярна направлению на заряд. Толщина пластины $δ$, диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$. Найдите силу, с которой пластинка притягивается к заряду. | ||
| ### Решение | |||
| − | Вдали от точечного заряда Q расположена диэлектрическая пластин- | ||
| − | ка площади S, причем линейные размеры пластинки много меньше расстояния R | ||
| − | между нею и зарядом. Плоскость пластинки перпендикулярна направлению на за- | ||
| − | ряд. Толщина пластины δ, диэлектрическая проницаемость ε. Найдите силу, с | ||
| − | которой пластинка притягивается к заряду. | ||
| + |  | ||
| + | Эта задача полностью аналогична задаче [$6.5.29$](https://savchenkosolutions.com/ru/6.5.29), с тем отличием, что тут вместо проводника - диэлектрик. Что это меняет? | ||
| + | Внутри проводника индуцированное поле полностью компенсирует внешнее, а внутри диэлектрика - частично. Найдём индуцированное поле в данном случае: | ||
| + | Заряд $Q$ создаёт вблизи пластины поле | ||
| + | $$ | ||
| + | E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | \varepsilon=\frac{E}{E-E_{ind}} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | E_{ind}=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}E | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | Теперь найдём модуль индуцированных зарядов на противоположных сторонах пластины | ||
| + | $$ | ||
| + | E_{ind}=2\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{Q_{ind}}{S\varepsilon_0} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | Q_{ind}=E_{ind}S\varepsilon_0=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}ES\varepsilon_0 | ||
| + | $$ | ||
| + | Сила, действующая на пластинку, является результируюющей силы притяжения между $Q$ и $Q_{ind}$ на ближней стороне пластинки и "отталкивания" между $Q$ и $-Q_{ind}$ на дальней стороне. | ||
| + | |||
| + | Учитывая малость $δ$, воспользуемся приближением $(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x$ | ||
| + | $$ | ||
| + | F=\frac{QQ_{ind}}{4\pi\varepsilon_0}\left({\frac{1}{R^2}-\frac{1}{(R+\delta)^2}}\right)=\frac{QQ_{ind}}{4\pi\varepsilon_0}\left({R^{-2}-R^{-2}\left({1+\frac{\delta}{R}}\right)^{-2}}\right) | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | F=\frac{(\varepsilon-1)Q^2S}{8\pi^2\varepsilon_0\varepsilon}\cdot\frac{\delta}{R^5} | ||
| + | $$ | ||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $ | ||
| + | F=\frac{(\varepsilon-1)Q^2S}{8\pi^2\varepsilon_0\varepsilon}\cdot\frac{\delta}{R^5} | ||
| + | $ | ||
| @@ -1,15 +1,42 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.6.16.$ [Вставьте условие задачи] | $6.6.16.$ Вдали от точечного заряда $Q$ расположена диэлектрическая пластинка площади $S$, причем линейные размеры пластинки много меньше расстояния $R$ между нею и зарядом. Плоскость пластинки перпендикулярна направлению на заряд. Толщина пластины $δ$, диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$. Найдите силу, с которой пластинка притягивается к заряду. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Вдали от точечного заряда Q расположена диэлектрическая пластин- |  | ||
| ка площади S, причем линейные размеры пластинки много меньше расстояния R | |||
| между нею и зарядом. Плоскость пластинки перпендикулярна направлению на за- | |||
| ряд. Толщина пластины δ, диэлектрическая проницаемость ε. Найдите силу, с | |||
| которой пластинка притягивается к заряду. | |||
| Эта задача полностью аналогична задаче [$6.5.29$](https://savchenkosolutions.com/ru/6.5.29), с тем отличием, что тут вместо проводника - диэлектрик. Что это меняет? | |||
| Внутри проводника индуцированное поле полностью компенсирует внешнее, а внутри диэлектрика - частично. Найдём индуцированное поле в данном случае: | |||
| Заряд $Q$ создаёт вблизи пластины поле | |||
| $$ | |||
| E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \varepsilon=\frac{E}{E-E_{ind}} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| E_{ind}=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}E | |||
| $$ | |||
| Теперь найдём модуль индуцированных зарядов на противоположных сторонах пластины | |||
| $$ | |||
| E_{ind}=2\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{Q_{ind}}{S\varepsilon_0} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| Q_{ind}=E_{ind}S\varepsilon_0=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}ES\varepsilon_0 | |||
| $$ | |||
| Сила, действующая на пластинку, является результируюющей силы притяжения между $Q$ и $Q_{ind}$ на ближней стороне пластинки и "отталкивания" между $Q$ и $-Q_{ind}$ на дальней стороне. | |||
| Учитывая малость $δ$, воспользуемся приближением $(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x$ | |||
| $$ | |||
| F=\frac{QQ_{ind}}{4\pi\varepsilon_0}\left({\frac{1}{R^2}-\frac{1}{(R+\delta)^2}}\right)=\frac{QQ_{ind}}{4\pi\varepsilon_0}\left({R^{-2}-R^{-2}\left({1+\frac{\delta}{R}}\right)^{-2}}\right) | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| F=\frac{(\varepsilon-1)Q^2S}{8\pi^2\varepsilon_0\varepsilon}\cdot\frac{\delta}{R^5} | |||
| $$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $ | ||
| F=\frac{(\varepsilon-1)Q^2S}{8\pi^2\varepsilon_0\varepsilon}\cdot\frac{\delta}{R^5} | |||
| $ | |||