Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

ar4senN edited
View solution History
revision #14989 parent #14988 ← older newer →
ru/3.3.23.md +52 −3
@@ -1,11 +1,60 @@
### Условие
−$3.3.23.$ [Вставьте условие задачи]
+$3.3.23.$ В момент времени $t_0$ координата тела, совершающего колебания с
+частотой $ω$, равна $x_0$, а скорость равна $v_0$. Докажите, что зависимость координаты тела от времени можно представить в виде:
+$$x(t)=x_0 \hspace{0.1cm} cos[w(t-t_0)] \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} (v_0/\omega) \hspace{0.1cm} sin[w(t-t_0)]$$
+
### Решение
−E=mc^2
+Уравнение гормонического колебания
+.
+
+$$x(t)=A \hspace{0.1cm} cos(wt) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} B \hspace{0.1cm} sin(wt) $$\
+$$v(t)=-wA \hspace{0.1cm} sin(wt) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} wB \hspace{0.1cm} cos(wt)$$
+
+.
+
+Для момента $t=t_0$
+
+.
+
+$$x_0=A \hspace{0.1cm} cos(wt_0) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} B \hspace{0.1cm} sin(wt_0) $$\
+$$v_0=-wA \hspace{0.1cm} sin(wt_0) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} wB \hspace{0.1cm} cos(wt_0)$$
+
+.
+
+Из двух уравнении выводим значения постоянных $A, B$
+
+.
+
+$$A=\frac{wx_0cos(wt_0)-v_0 sin(wt_0)}{w}$$\
+$$B=\frac{wx_0sin(wt_0)+v_0cos(wt_0)}{w}$$
+
+.
+
+Находим зависимость $x(t)$
+
+.
+
+$$x(t)=\frac{wx_0cos(wt_0)-v_0 sin(wt_0)}{w} \hspace{0.1cm} cos(wt) +\frac{wx_0sin(wt_0)+v_0cos(wt_0)}{w} \hspace{0.1cm} sin(wt)$$\
+$$x(t)=\frac{wx_0[cos(wt)cos(wt_0)+sin(wt)sin(wt_0)]+v_0[sin(wt)cos(wt_0)-sin(wt_0)cos(wt)]}{\omega}$$
+
+.
+
+Воспользуемся тригонометрическими преоброзованиями
+
+.
+
+$$cos[w(t-t_0)]=cos(wt)cos(wt_0)+sin(wt)sin(wt_0)$$\
+$$sin[w(t-t_0)]=sin(wt)cos(wt_0)-sin(wt_0)cos(wt)$$\
+$$x(t)=x_0 \hspace{0.1cm} cos[w(t-t_0)] \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} (v_0/\omega) \hspace{0.1cm} sin[w(t-t_0)]$$
+
+.
+
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$x(t)=x_0 \hspace{0.1cm} cos[w(t-t_0)] \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} (v_0/\omega) \hspace{0.1cm} sin[w(t-t_0)]$$