Решение

Уравнение гормонического колебания

.

$$x(t)=A \hspace{0.1cm} cos(wt) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} B \hspace{0.1cm} sin(wt)$$
$$v(t)=-wA \hspace{0.1cm} sin(wt) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} wB \hspace{0.1cm} cos(wt)$$

.

Для момента $t=t_0$

.

$$x_0=A \hspace{0.1cm} cos(wt_0) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} B \hspace{0.1cm} sin(wt_0)$$
$$v_0=-wA \hspace{0.1cm} sin(wt_0) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} wB \hspace{0.1cm} cos(wt_0)$$

.

Из двух уравнении выводим значения постоянных $A, B$

.

$$A=\frac{wx_0cos(wt_0)-v_0 sin(wt_0)}{w}$$
$$B=\frac{wx_0sin(wt_0)+v_0cos(wt_0)}{w}$$

.

Находим зависимость $x(t)$

.

$$x(t)=\frac{wx_0cos(wt_0)-v_0 sin(wt_0)}{w} \hspace{0.1cm} cos(wt) +\frac{wx_0sin(wt_0)+v_0cos(wt_0)}{w} \hspace{0.1cm} sin(wt)$$

.

Воспользуемся тригонометрическими преоброзованиями

.

$$cos[w(t-t_0)]=cos(wt)cos(wt_0)+sin(wt)sin(wt_0)$$
$$sin[w(t-t_0)]=sin(wt)cos(wt_0)-sin(wt_0)cos(wt)$$
$$x(t)=x_0 \hspace{0.1cm} cos[w(t-t_0)] \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} (v_0/\omega) \hspace{0.1cm} sin[w(t-t_0)]$$

.