New solution

jzmicer edited
View solution History
revision #14993 newer →
ru/6.6.29.md +43 −0
@@ -0,0 +1,43 @@
+### Условие
+
+$6.6.29.$ [Вставьте условие задачи]
+
+### Решение
+
+$6.6.29.$
+Найдите дипольный момент проводящего шарика радиуса $r$, помещенного в однородное электрическое поле напряженности $E$. Воспользуйтесь решением задачи $6.2.14.$
+
+Поле внутри проводника всегда равно 0, значит, индуцированные заряды на поверхности шарика должны создать внутри шарика поле, компенсирующее внешнее поле.
+$$
+\vec E_{ind}=-\vec E
+$$
+В задаче $6.2.14$ мы нашли, что поверхностная плотность индуцированных зарядов, необходимая для создания однороднго поля внутри шара, равна
+$$
+\sigma = -3\varepsilon_0E\cos\theta
+$$
+где $\theta$— угол между направлением поля и радиусом, проведенным в точку на сфере. Заметим, что на одной стороне шарика будут сгруппированы положительнвые заряды, на другой - отрицательный. Поэтому шарик является диполем достаточно сложной конфигурации.
+Дипольный момент точечного диполя опрееделяется как $\vec p=q\vec d$
+
+Рассмотрим этот шарик в сферической системе координат:
+$$
+dS=r^2\sin\theta d\theta d\varphi
+$$
+Рассмотрим "элементарный" диполь, составленный из заряда на некотором участке поверхности шара $dq$, и заряда противоположного знака, находящегося диаметрально противоположно.
+$$
+dq=\sigma dS, ~dp=2rdq
+$$
+Суммарный дипольный момент равен векторной сумме дипольных моментов таких "элементарных" диполей. Найдём его, интегрируя по половине шарика:
+$$
+p=\int dp\cos\theta=2r\cdot3\varepsilon_0E r^2\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^2\theta d\theta\int_0^{2\pi}d\varphi
+$$
+$$
+p = 4\pi\varepsilon_0r^3E
+$$
+
+$
+p = 4\pi\varepsilon_0r^3E
+$
+
+#### Ответ
+
+[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]