Решение

Поле внутри проводника всегда равно 0, значит, индуцированные заряды на поверхности шарика должны создать внутри шарика поле, компенсирующее внешнее поле.
$$\vec E_{ind}=-\vec E$$
В задаче $6.2.14$ мы нашли, что поверхностная плотность индуцированных зарядов, необходимая для создания однороднго поля внутри шара, равна
$$\sigma = -3\varepsilon_0E\cos\theta$$
где $\theta$— угол между направлением поля и радиусом, проведенным в точку на сфере. Заметим, что на одной стороне шарика будут сгруппированы положительнвые заряды, на другой - отрицательный. Поэтому шарик является диполем достаточно сложной конфигурации.
Дипольный момент точечного диполя опрееделяется как $\vec p=q\vec d$

Рассмотрим этот шарик в сферической системе координат:
$$dS=r^2\sin\theta d\theta d\varphi$$
Рассмотрим "элементарный" диполь, составленный из заряда на некотором участке поверхности шара $dq$, и заряда противоположного знака, находящегося диаметрально противоположно.
$$dq=\sigma dS, ~dp=2rdq$$
Суммарный дипольный момент равен векторной сумме дипольных моментов таких "элементарных" диполей. Найдём его, интегрируя по половине шарика:
$$p=\int dp\cos\theta=2r\cdot3\varepsilon_0E r^2\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^2\theta d\theta\int_0^{2\pi}d\varphi$$
$$p = 4\pi\varepsilon_0r^3E$$