Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

jzmicer edited
View solution History
revision #15002 parent #15001 ← older newer →
ru/6.4.9.md +109 −3
@@ -1,11 +1,117 @@
### Условие
−$6.4.9.$ [Вставьте условие задачи]
+$6.4.9.$ Определите емкость систем конденсаторов, изображенных на рисунке.
+![|682x580, 90%](../../img/6.4.9/6.4.9.png)
### Решение
+В общем случае ёмкость системы конденсаторов равна:
+$$
+C_{total}=\frac{q_{total}}{U_{total}}
+$$
+$а.$При последовательном соединении конденсаторов ток через них одинаков, значит, заряды на них в любой момент времени одинаковы. Тогда для $n$ последовательно соединённых конденсаторов:
+$$
+q_{total}=q_1=q_2=...=q_n
+$$
+$$
+U_{total}=\sum_{i=1}^n U_i=\sum_{i=1}^n\frac{q_{total}}{C_i}
+$$
+$$
+\frac{1}{C_{total}}=\frac{U_{total}}{q_{total}}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{C_i}
+$$
+В нашем случае:
+$$
+\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}
+$$
+$$
+C=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}
+$$
+При параллельном соединении конденсаторов напряжение на них одинаково. Тогда
+$$
+U_{total}=U_1=U_2=...=U_n
+$$
+$$
+q_{total}=\sum_{i=1}^n q_i=\sum_{i=1}^n U_{total}C_i
+$$
+$$
+C_{total}=\frac{q_{total}}{U_{total}}=\sum_{i=1}^nC_i
+$$
+В нашем случае:
+$$
+C=C_1=C_2
+$$
+$б.$ Из симметриии цепи можно заметить, потенциалы на концах "мостика" одинаковы, значит, напряжение и заряд на конденсаторе на "мостике" равны 0 и он не вносит вклад в общую ёмкость.
+Исключая мостик, получим цепь, являющуюся комбинацией рассмотренных в пункте $а.$ случаев.
+$$
+C'=\frac{2C\cdot C}{2C+C}=\frac{2}{3}C
+$$
+$$
+C_{total}=2C'=\frac{4}{3}C
+$$
+$в.$
+![|313x178, 40%](../../img/6.4.9/6.4.9-1.png)
+Тут цепь уже не симметрична, и "выкинуть" мостик не получится. Такие цепи обычно рассчитываются с помощью правил Кирхгофа.
+Но через заряженные конденсаторы ток не течёт, поэтому первое правило Кирхгофа необходимо переформулировать:
+$$
+\sum I=0\Rightarrow\sum q=0
+$$
+Уравнения для 1 правила:
+$$\begin{cases}
+q_{total}=q_1+q_2\\
+q_1=q_3+q_4 \\
+q_2+q_3=q_5
+\end{cases}$$
+Для 2 правила:
+$$\begin{cases}
+\frac{q_1}{C}+\frac{q_3}{C}=\frac{q_2}{2C}\\
+\frac{q_4}{2C}=\frac{q_3}{C}+\frac{q_5}{C}\\
+\frac{q_2}{2C}+\frac{q_5}{C}=U_{total}
+\end{cases}$$
−Определите емкость систем конденсаторов, изображенных на рисунке.
+Решая систему из этих уравнений получим:
+$$
+C_{total}=\frac{q_{total}}{U_{total}}=\frac{7}{5}C
+$$
+$г.$ Идея решения бесконечных цепей такая: при добавлении к бесконечной цепочке ещё одного звена она останется бесконечной, значит, её общая ёмкость не поменяется.
+![|481x307, 50%](../../img/6.4.9/6.4.9-3.png)
+$$
+\frac{C(C_{total}+C)}{C_{total}+2C}=C_{total}
+$$
+$$
+C_{total}^2+C_{total}C-C^2=0
+$$
+Решая это квадратное уравнение и выбирая положительный корень, получим:
+$$
+C_{total}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}C
+$$
+$д.$
+Из симметрии нетрудно заметить, что некоторые узлы куба имеют одинаковые потенциалы:
+![|596x526, 40%](../../img/6.4.9/6.4.9-2.png)
+Эти узлы мы можем соединить, не изменив цепь:
+![Все конденсаторы имеют ёмкость $C$|842x587, 60%](../../img/6.4.9/6.4.9-4.png)
+Используя результаты пункта $а.$ можно упростить цепь:
+![|500x366, 50%](../../img/6.4.9/6.4.9-5.png)
+Получаем задачу, аналогичную пункту $в.$, которую можно решить с помощью правила Кирхгофа, причём уравнения для первого правила полностью одинаковы.
+$$\begin{cases}
+q_{total}=q_1+q_2\\
+q_1=q_3+q_4 \\
+q_2+q_3=q_5\\
+\frac{3q_1}{2C}+\frac{q_3}{2C}=\frac{q_2}{2C}\\
+\frac{q_4}{2C}=\frac{3q_5}{2C}+\frac{q_3}{2C}\\
+\frac{q_2}{2C}+\frac{3q_5}{2C}=U_{total}
+\end{cases}$$
+Решая эту систему, получим:
+$$
+C_{total}=\frac{6}{5}C
+$$
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$а.~C=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2},~C=C_1=C_2$
+
+$б.~C_{total}=\frac{4}{3}C$
+
+$в.~C_{total}=\frac{7}{5}C$
+
+$г.~C_{total}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}C$
+
+$д.~C_{total}=\frac{6}{5}C$