Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/3.5.33.md
+29 −5
| @@ -1,20 +1,44 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.5.33.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $3.5.33.$ Раскачка колебаний, как видно из решения задачи 3.5.32, сопровождается биениями. При ω → ω0 размах биений неограниченно растет, но зато их период, а значит, и время нарастания неограниченно увеличиваются. Пусть время, прошедшее после начала воздействия вынуждающей силы, много меньше 2π/|ω − ω0|. Воспользуйтесь приближением sin ε ≈ ε (ε << 1) и определите характер раскачки колебаний в этом случае. | ||
| − | ### Решение | ||
| − | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.5.33.$ Раскачка колебаний, как видно из решения задачи 3.5.32∗, сопровождается биениями. При ω → ω0 размах биений неограниченно растет, но зато их период, а значит, и время нарастания неограниченно увеличиваются. Пусть время, прошедшее после начала воздействия вынуждающей силы, много меньше 2π/|ω − ω0|. Воспользуйтесь приближением sin ε ≈ ε (ε 1) и определите характер раскачки колебаний в этом случае. | ||
| + | $3.5.33.$ | ||
| ### Решение | |||
| Напомним, что решение 3.5.32 имеет вид: | |||
| + | $$x(t) = \frac{2F_{0}}{m | ||
| + | (\omega_{0}^2 - \omega^2)}sin(\frac{\omega_{0}+\omega}{2}t)sin(\frac{\omega-\omega_{0}}{2}t)$$ | ||
| + | Период биений гораздо больше, чем период собственных колебаний системы. | ||
| + | $$T_{биений} = \frac{\pi}{\omega-\omega_{0}} >> T_{собств} = \frac{2\pi}{\omega_{0}}$$ Это значит, что $|\omega-\omega_{0}|<< \omega$. | ||
| + | Воспользуемся приближением $sin( | ||
| + | \epsilon) \approx \epsilon$. Тогда решение примет вид: | ||
| + | |||
| + | $$x(t) = \frac{2F_{0}}{m | ||
| + | (\omega_{0} - \omega)(\omega_{0} + \omega)}sin(\frac{\omega_{0}+\omega}{2}t)(\frac{\omega-\omega_{0}}{2}t)$$ | ||
| + | |||
| + | Сокращая скобки с разностью, получим: | ||
| + | |||
| + | $$x(t) = \frac{F_{0}t}{m | ||
| + | (\omega_{0} + \omega)}sin(\frac{\omega_{0}+\omega}{2}t)$$ | ||
| + | |||
| + | Или, если воспользоваться $\omega_{0} \approx \omega$ | ||
| + | |||
| + | $$x(t) = \frac{F_{0}t}{2m\omega_{0}}sin(\omega_{0}t)$$ | ||
| + | |||
| + | Видно, что огибающая синуса возрастает линейно. Построим график решения: | ||
| + | |||
| + |  | ||
| + | |||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| + | Амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает | ||
| + | |||
| + | $$x(t) = \frac{F_{0}t}{2m\omega_{0}}sin(\omega_{0}t)$$ | ||
| @@ -1,20 +1,44 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.5.33.$ [Вставьте условие задачи] | $3.5.33.$ Раскачка колебаний, как видно из решения задачи 3.5.32, сопровождается биениями. При ω → ω0 размах биений неограниченно растет, но зато их период, а значит, и время нарастания неограниченно увеличиваются. Пусть время, прошедшее после начала воздействия вынуждающей силы, много меньше 2π/|ω − ω0|. Воспользуйтесь приближением sin ε ≈ ε (ε << 1) и определите характер раскачки колебаний в этом случае. | ||
| ### Решение | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.5.33.$ Раскачка колебаний, как видно из решения задачи 3.5.32∗, сопровождается биениями. При ω → ω0 размах биений неограниченно растет, но зато их период, а значит, и время нарастания неограниченно увеличиваются. Пусть время, прошедшее после начала воздействия вынуждающей силы, много меньше 2π/|ω − ω0|. Воспользуйтесь приближением sin ε ≈ ε (ε 1) и определите характер раскачки колебаний в этом случае. | $3.5.33.$ | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Напомним, что решение 3.5.32 имеет вид: | Напомним, что решение 3.5.32 имеет вид: | ||
| $$x(t) = \frac{2F_{0}}{m | |||
| (\omega_{0}^2 - \omega^2)}sin(\frac{\omega_{0}+\omega}{2}t)sin(\frac{\omega-\omega_{0}}{2}t)$$ | |||
| Период биений гораздо больше, чем период собственных колебаний системы. | |||
| $$T_{биений} = \frac{\pi}{\omega-\omega_{0}} >> T_{собств} = \frac{2\pi}{\omega_{0}}$$ Это значит, что $|\omega-\omega_{0}|<< \omega$. | |||
| Воспользуемся приближением $sin( | |||
| \epsilon) \approx \epsilon$. Тогда решение примет вид: | |||
| $$x(t) = \frac{2F_{0}}{m | |||
| (\omega_{0} - \omega)(\omega_{0} + \omega)}sin(\frac{\omega_{0}+\omega}{2}t)(\frac{\omega-\omega_{0}}{2}t)$$ | |||
| Сокращая скобки с разностью, получим: | |||
| $$x(t) = \frac{F_{0}t}{m | |||
| (\omega_{0} + \omega)}sin(\frac{\omega_{0}+\omega}{2}t)$$ | |||
| Или, если воспользоваться $\omega_{0} \approx \omega$ | |||
| $$x(t) = \frac{F_{0}t}{2m\omega_{0}}sin(\omega_{0}t)$$ | |||
| Видно, что огибающая синуса возрастает линейно. Построим график решения: | |||
|  | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| Амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает | |||
| $$x(t) = \frac{F_{0}t}{2m\omega_{0}}sin(\omega_{0}t)$$ | |||