$3.6.11*.$ Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы согнуть в кольцо стержень, имеющий квадратное сечение $a × a$? Модуль Юнга материала $E$, длина стержня $l >> a$.
Решение
Так как нам найти минимальную деформацию, то середина стержня не деформируется. Найти работу можно при помощи Закона изменения энергии: $$A = E_{кон} - E_{нач}$$ Потенциальная энергия деформации: $$Е = \frac{kx^2}{2}$$ Изначально стержень не деформирован, поэтому элементарная работа для одного слоя определяется как: $$\delta A = \frac{kL^2(r)}{2}$$
К задаче $3.6.11$
где $L(r) = 2\pi r$.
Коэффициент $k$ равен:
$$k = \frac{Eds}{l}$$
Элементарная площадь слоя $ds = adr$, поэтому:
$$k = \frac{Ea}{l}dr$$
Подставим:
$$\delta A = \frac{2\pi^2aE}{l}r^2dr$$
Найдём суммарную работу при помощи интегрирования:
$$A_{min} = \frac{2\pi^2aE}{l}\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}r^2dr = \frac{\pi^2Ea^4}{6l}$$
