Edits to “Решение”, “Поверхностные токи”, “Максимальное давление”

igor edited Jul 15, 2025, 9:22 AM

View solution History

revision #15044 parent #15043 ← older newer →

ru/11.5.13.md +3 −3

			### Условие

			$11.5.13^*.$ Через длинный прямой провод, который находится на высоте $h$ над сверхпроводящей плоскостью, пропустили ток $I$. Чему равно максимальное магнитное давление на поверхность сверхпроводника? С какой силой действует сверхпроводник на единицу длины провода?


			### Решение

			Начальные условия опишем так же, как и в решении задачи [$11.5.12$](/ru/11.5.12).

			Пусть до включения тока в проводе токи в сверхпроводнике (СП) отсутстовали, и магнитное поле (кратко — поле) в нем было равно нулю.
		@@ -11,7 +11,7 @@Решение

			Далее рассматриваем ситуацию, когда по проводу уже протекает ток. После включения тока в проводе поле в СП так же должно остаться нулевым (сохранение магнитного потока!). В таком случае понятно, что в СП должны возникнуть свои токи, которые в сумме с током провода дадут нулевое поле внутри СП.

		−	Возникшие токи в СП можно ~~можно~~ заменить зеркальным током (метод зеркальных токов). Можно показать [1], что влияние СП можно моделировать зеркальным отражением тока провода относительно плоскости СП (рис. 1).
		+	Возникшие токи в СП можно заменить зеркальным током (метод зеркальных токов). Можно показать [1], что влияние СП можно моделировать зеркальным отражением тока провода относительно плоскости СП (рис. 1).

			![Рис. 1.\|1205x512, 50%](../../img/11.5.13/11513a.png)

			Мы положили, что ток в проводе течет на нас; это влечет то, что зеркальный ток в СП (мнимый ток) течет от нас (пояснение смотри в решении задачи [$11.5.12$](/ru/11.5.12))


			#### Поверхностные токи


		@@ -24,7 +24,7 @@Поверхностные токи
			Мы сказали, что поле внутри СП всегда будет равно нулю. Тогда по теореме о циркуляции в дифференциальной форме [2]

			$$
		−	\operatorname{rot}\vec B=\mu_0\vec j.
		+	\operatorname{rot}\vec B=\mu_0\vec j
			$$

			ни в какой точке внутри СП нет тока.

			Итак, реальные токи в СП текут по его поверхности.


		@@ -35,7 +35,7 @@Поверхностные токи
			#### Максимальное давление


		−	Давления на поверхность СП обусловлено силами Ампера, действующими на поверхностные токи СП. Из симметрии ситуации видно, что это давление может меняться только вдоль лежащей на СП прямой, перпендикулярной оси провода.
		+	Давления на поверхность СП обусловлены силами Ампера, действующими на поверхностные токи СП. Из симметрии ситуации видно, что это давление может меняться только вдоль лежащей на СП прямой, перпендикулярной оси провода.

			Выберем произвольную точку $D$ на поверхности СП. Из этой точки проведем нормальный отрезок к проводу, который составит угол $\alpha$ с нашей вертикалью (рис. 2)

			![Рис. 2.\|938x432, 50%](../../img/11.5.13/11513b.png)

			В точке $D$ на СП лежит элементарная площадка $dx\,dl$, по которой течет ток линейной плотности $i$, на который и действует поле внешних по отношению к нему токов (рис. 3).

			![Рис. 3.\|1149x658, 50%](../../img/11.5.13/11513c.png)

			Вблизи площадки над(!) ней поле складывается из полей тока площадки и токов внешних относительно нее (прием с выделением площадки в контексте полей применялся, например, в решении задачи [$7.4.29$](/ru/7.4.29)). В наших обозначениях с учетом направлений записать это можно так:

			$$
			2\cdot\frac{\mu_0I\cos\alpha}{2\pi h}=\frac{\mu_0 i}{2}+B_\text{внеш},\tag{1}
			$$

			где $B_\text{внеш}$ есть поле токов внешних относительно площадки. Левая часть равенства есть суммарное поле, которое мы нашли из модели «провод-отражение» по рисунку 1 с учетом результатов решения задачи [$9.2.3$](/ru/9.2.3). В правой части дробное слагаемое есть поле от площадки вблизи нее (см. решение задачи [$9.3.3$](/ru/9.3.3))

			Аналогично, вблизи площадки под(!) ней можно записать:

			$$
			0=-\frac{\mu_0 i}{2}+B_\text{внеш}.\tag{2}
			$$

			Левая часть равна нулю, так как поле в СП равно нулю. В правой части дробное слагаемое изменило знак, так как направление поля от площадки стало противоположным; $B_\text{внеш}$ сохранило ориентацию, потому что для остальных реальных токов рассмотрение практически не изменилось.

			Из формул $(1)$ и $(2)$ мы получим сам по себе важный результат зависимости линейной плотности тока $i$ от угла $\alpha$:

			$$
			i=\frac{I\cos\alpha}{\pi h}.
			$$

			Площадка находится в поле

			$$
			B_\text{внеш}=\frac{\mu_0 i}{2}=\frac{\mu_0 I\cos\alpha}{2\pi h}.
			$$

			Все это, конечно, мы получали, чтобы записать выражение для давления на площадку [2]:

			$$
			P=\frac{d^2F_\text{A}}{dx\,dl}=\frac{i\,dx\cdot B_\text{внеш}\,dl}{dx\,dl}=iB_\text{внеш},
			$$

			и с учетом предыдущего:

			$$
			P=\frac{\mu_0I^2\cos^2\alpha}{2(\pi h)^2}.
			$$

			Соответственно, максимум:

			$$
			\boxed{P_\text{max}=\frac{\mu_0I^2}{2(\pi h)^2}}
			$$

			находится прямо под проводом на СП.


			#### Действие на провод


			Силу на единицу длины провода найдем из модели рисунка 1. Провод отталкивается вверх как бы полем $B_\text{мн}$ мнимого тока:

			$$
			F_\text{A0}=IB_\text{мн}.
			$$

			Из решения задачи [$9.2.3$](/ru/9.2.3) уже понимаем, что

			$$
			B_\text{мн}=\frac{\mu_0 I}{4\pi h}
			$$

			(учли, что расстояние от мнимого тока до провода равно $2h$).

			Тогда

			$$
			\boxed{F_\text{A0}=\frac{\mu_0 I^2}{4\pi h}.}
			$$


			Примечание 1: задача решена для случая полубесконечного сверхпроводника; для плоскости рассуждения остаются справедливыми (ведь ее можно считать частю огромной сверхпроводящей сферы).

			Примечание 2: в решении задачника вроде есть словесная опечатка.


			#### Литература


			[1] Стасенко А. Над далекою ртутной планетой. В: Квант 1 (1994).

			[2] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3.


			#### Ответ

			$$
			P_\text{max}=\frac{\mu_0I^2}{2(\pi h)^2};\quad F_\text{A0}=\frac{\mu_0 I^2}{4\pi h}.
			$$
		unchanged lines 97