| @@ -1,16 +1,61 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $11.2.17.$ [Вставьте условие задачи] |
| $11.2.17^*.$ Индукция магнитного поля направлена вдоль оси $z$ и зависит от |
| |
| |
| ### Решение |
| |
| |
| |
| 11.2.17∗ |
| |
| . Индукция магнитного поля направлена вдоль оси z и зависит от |
| |
| расстояния до этой оси так, как изображено на рисунке. На каком расстоянии от |
| расстояния до этой оси так, как изображено на рисунке. На каком расстоянии от |
| оси z вращается электрон, который при возрастании поля остается на своей орбите? Во сколько раз увеличивается энергия этого электрона при десятикратном |
| оси $z$ вращается электрон, который при возрастании поля остается на своей орбите? Во сколько раз увеличивается энергия этого электрона при десятикратном |
| увеличении индукции поля? Как будут двигаться при возрастании поля электроны, которые двигались по другим круговым орбитам? |
| увеличении индукции поля? Как будут двигаться при возрастании поля электроны, которые двигались по другим круговым орбитам? |
| |
|  |
| |
| |
| |
| ### Решение |
| |
| |
| |
| Вихревое электрическое поле будет циркулировать по окружности. Поэтому: |
| |
| $$ |
| |
| E \cdot 2\pi R = -\frac{d\Phi}{dt} \quad \Rightarrow \quad E = -\frac{1}{2\pi R} \frac{d\Phi}{dt} |
| |
| $$ |
| |
| Из графика, индукция поля от оси $z$ определяется: |
| |
| $$ |
| |
| B(r) = B_0(1-\frac{r}{r_0}) |
| |
| $$ |
| |
| где $B_0$ - неизвестная величина, которая меняется со временем. |
| |
| Элементарный магнитный поток через кольцо шириной $dr$ определяется как: |
| |
| $$ |
| |
| \delta \Phi = 2\pi rB(r)dr |
| |
| $$ |
| |
| Тогда суммарный поток будет определятся интегралом: |
| |
| $$ |
| |
| \Phi = 2\pi\int_{0}^{R}B(r)rdr = 2\pi B_0(\frac{R^2}{2} - \frac{R^3}{3r_0}) |
| |
| $$ |
| |
| Электрическое поле выражается: |
| |
| $$ |
| |
| E = (\frac{R}{2} - \frac{R^2}{3r_0})\frac{dB_0}{dt} |
| |
| $$ |
| |
| Вихревое электрическое поле сообщает тангенсальное ускорение электрону, поэтому, из Второго закона Ньютона: |
| |
| $$ |
| |
| m\frac{dv}{dt} = eE \quad \Rightarrow \quad dv = \frac{e}{m}(\frac{R}{2} - \frac{R^2}{3r_0})dB_0 |
| |
| $$ |
| |
| Сила Лоренца сообщает радиальное ускорение: |
| |
| $$ |
| |
| \frac{mv^2}{R} = evB(R) \quad \Rightarrow \quad v =\frac{e}{m}RB_0(1-\frac{R}{r_0}) |
| |
| $$ |
| |
| Приращение скорости: |
| |
| $$ |
| |
| dv =\frac{e}{m}R(1-\frac{R}{r_0})dB_0 |
| |
| $$ |
| |
| Приравниваеи приращения скоростей от электрического и магнитного полей: |
| |
| $$ |
| |
| \frac{e}{m}(\frac{R}{2} - \frac{R^2}{3r_0})dB_0 = \frac{e}{m}R(1-\frac{R}{r_0})dB_0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} - \frac{R}{3r_0} = 1-\frac{R}{r_0} |
| |
| $$ |
| |
| Тогда $R$ равен: |
| |
| $$ |
| |
| R = \frac{3}{4}r_0 |
| |
| $$ |
| |
| Отношение конечной и начальной кинетических энергий равен отношений квадратов скоростей в конце и в начале. Так как $v =\frac{e}{m}RB_0(1-\frac{R}{r_0})$, то тогда отношение так же равно отношению квадратов индукций: |
| |
| $$ |
| |
| \beta = \frac{v'^2}{v^2} = \frac{B'^2}{B^2} =\frac{(10B)^2}{B^2} = 100 |
| |
| $$ |
| |
| |
| #### Ответ |
| #### Ответ |
| |
| |
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] |
| $$ |
| |
| \boxed{(R = \frac{3}{4}r_0)}, \boxed{\beta = 100} |
| |
| $$ |
