Edit to “Решение”

Anonymous edited Jul 18, 2025, 8:57 AM

View solution History

revision #15072 parent #15071 ← older

ru/5.3.13.md +2 −2

			### Условие

			$5.3.13.$ Теплопроводность газов $A_{1}$ и $A_{2}$ равна соответственно $\kappa_{1}$ и $\kappa_{2}$.
			Определите теплопроводность смеси, в которой молекул газа $A_{1}$ в $\alpha$ раз больше,
			чем молекул газа $A_{2}$. Температура газов одинакова, газы одноатомные. Молярная
			масса газов соответственно $\mu_1$ и $\mu_{2}$.

			### Решение

			Определим коэффициенты теплопроводности газов в смеси обозначим их $\kappa'_{1}$ и $\kappa'_{2}$.Так как газы одноатомные и температуры одинаковые можно считать, что:

			$$\kappa\sim \frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{\mu}}$$

			Значит после всех преобразований можно получить:

			$$\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}=\sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}}\cdot \frac{r_{2}^2}{r_{1}^2}$$

			Где $r_{1}$ и $r_{2}$ радиусы атомов газа.

			$$r_{2}= r_{1}\cdot (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^{\frac{1}{2}}$$

			Концентрации газов в смеси относятся как $$\frac{n_{1}}{n_{2}}=\alpha$$
		@@ -23,9 +23,9 @@Решение

			Число столкновений молекул газа 1 и газа 2 в смеси:

		−	$$\nu_{1}=4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1} + \frac{n_{1}}{\alpha}\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}$$
		+	$$\nu_{1}=4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1}\cdot <\upsilon_{кв_{1}}> + \frac{n_{1}}{\alpha}\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}\cdot <\upsilon_{кв_{1}}>$$

		−	$$\nu_{2}=4\cdot \pi\cdot r_{2}^{2}\cdot n_{2} + n_{2}\cdot \alpha\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}$$
		+	$$\nu_{2}=4\cdot \pi\cdot r_{2}^{2}\cdot n_{2}\cdot <\upsilon_{кв_{2}}> + n_{2}\cdot \alpha\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}\cdot <\upsilon_{кв_{2}}>$$

			Запишем отношения теплопроводностей "до" к "после", после преобразований получим:

			$$\frac{\kappa_{1}}{\kappa'_{1}}=\frac{4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1} + \frac{n_{1}}{\alpha}\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}}{4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1}}$$

			Подставим выражение для $r_{2}$, закончим преобразования и выразим новую теплопроводность газа 1:

			$$\kappa'_{1} = \frac{\kappa_{1}}{1 + \frac{1}{4\cdot \alpha}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$

			Аналогично для газа 2:

			$$\kappa'_{2} = \frac{\kappa_{2}}{1 + \frac{\alpha}{4}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{2}}{\kappa_{1}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$

			Пусть создан градиент температур $\frac{\partial T}{\partial x}$ внутри смеси. Поток тепла через смесь равен:

			$$q_{12} = \kappa_{12}\cdot \frac{\partial T}{\partial x}\cdot S = q_{1} + q_{2} = \kappa'_{1}\cdot \frac{\partial T}{\partial x}\cdot S + \kappa'_{2}\cdot \frac{\partial T}{\partial x}\cdot S$$

			Отсюда:
			$$\kappa_{12} = \kappa'_{1} + \kappa'_{2}$$

			$$\kappa_{12} = \frac{\kappa_{1}}{1 + \frac{1}{4\cdot \alpha}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^\frac{1}{2}]^{2}} + \frac{\kappa_{2}}{1 + \frac{\alpha}{4}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{2}}{\kappa_{1}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$



			#### Ответ

			$$\kappa_{12} = \frac{\kappa_{1}}{1 + \frac{1}{4\cdot \alpha}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^\frac{1}{2}]^{2}} + \frac{\kappa_{2}}{1 + \frac{\alpha}{4}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{2}}{\kappa_{1}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$
		unchanged lines 24