Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #15074 parent #15073 ← older
ru/2.8.28.md +33 −3
@@ -1,11 +1,41 @@
### Условие
−$2.8.28.$ [Вставьте условие задачи]
+$2.8.28.$ Расстояние между вертикальными стенками равно $\ell$. Какой длины стержень, вставленный наискось между стенками, не будет опускаться, если коэффициент трения между стержнем и стенками равен $µ$?
+![К задаче $2.8.28$|197x95, 40%](../../img/2.8.28/2.8.28.png)
+
### Решение
−dfg
+Пусть максимальная длина стержня, при которой он не будет опускаться, равна $L$, при этом наклон стержня к горизонту составляет угол $\alpha$, тогда:
+$$\ell=L\cos\alpha \tag{1}$$
+
+На стержень со стороны стенок действует результирующая сила, которую можна разложить на нормальную силу реакции опоры и силу трения стержня об стенку ($\vec R=\vec N+\vec F_{тр}$). Сумма моментов этих результирующих сил относительно центра масс стержня в общем виде не равна 0, но есть одно единственное положение при котором не будет вращения. Это такое положение, когда результирующая сила проходит через центр масс. А так как точка контакта находится на конце стержня, единственное направление, при котором сила от стены не создаёт вращения, — это если она направлена вдоль самого стержня.
+
+Силы трения направлены по вертикале, силы нормальной реакии опоры по горизонтале. При отсутствии вращения тангенс угла между ними будет тангенсом угла наклона стержня:
+
+$$\frac{F_{тр}}{N}=\frac{\mu N}{N}=\mu=\tan\alpha \tag{2}$$
+
+Воспользуемся тригонометрической формулой:
+
+$$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\alpha}}$$
+
+Подставим $\tan\alpha=\mu$:
+
+$$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\mu^{2}}} \tag{3}$$
+
+Подставим (3) в (1):
+
+$$\ell=L\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\mu^{2}}}$$
+
+Отсюда:
+
+$$L=\ell\sqrt{1+\mu^{2}}$$
+
+Мы нашли максимальную длину, очевидно, что длина стержня будет находится в диапазоне:
+
+$$\ell\lt L\lt \ell\sqrt{1+\mu^{2}}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$\ell\lt L\lt \ell\sqrt{1+\mu^{2}}$$