Edit to “Условие”

Shrodinger_cat edited Jul 18, 2025, 9:24 PM

View solution History

revision #15078 parent #15076 ← older

ru/11.6.11.md +1 −0

			### Условие

			$11.6.11^*.$ а. Напряженность электрического поля внутри круглого плоского
			конденсатора, заполненного веществом с диэлектрической проницаемостью $ε$,
			линейно растет со временем: $E = αt$. Определите индукцию магнитного поля
			внутри конденсатора на расстоянии $r$ от его центра.
		@@ -7,6 +7,7 @@Условие
			б. Напряжение на обкладках плоского конденсатора линейно растет со временем: $V = αt$. Радиус обкладок $r_0$, расстояние между ними $h$. По оси конденсатора
			вставлен диэлектрический цилиндр радиуса r с диэлектрической непроницаемостью $ε$. Определите индукцию магнитного поля на боковой поверхности цилиндра
			и на краю конденсатора.
		+	![К задаче $11.6.11$\|206x92, 50%](../../img/11.6.11/2025-07-18_15-43-51.png)

			### Решение
			а. Из обобщённой теоремы о циркуляции для тока смещения:
			$$
			\oint Bdl = \mu_0\varepsilon_0 \frac{dN}{dt}
			$$
			Поток электрического поля равен:
			$$
			N = \pi r^2 \varepsilon E = \pi r^2 \varepsilon \alpha t
			$$
			Тогда циркуляция магнитного поля равна:
			$$
			\oint Bdl = \mu_0\varepsilon_0\varepsilon\pi\alpha r^2
			$$
			Магнтное поле циркулирует по окружности, поэтому:
			$$
			B\cdot2\pi r = \mu_0\varepsilon_0\varepsilon\pi\alpha r^2 \quad \Rightarrow \quad B = \frac{\mu_0\varepsilon_0\varepsilon\pi\alpha r}{2}
			$$
			б. Из обобщённой теоремы о циркуляции для тока смещения:
			$$
			\oint Bdl = \mu_0\varepsilon_0 \frac{dN}{dt}
			$$
			Поток электрического поля равен:
			$$
			N = \varepsilon E \pi r^2 + E\pi(r_0^2 - r^2) = \frac{\pi\alpha t}{h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2)
			$$
			Циркуляция магнитного поля равна:
			$$
			\oint Bdl = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\pi\alpha}{h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2)
			$$
			Циркулировать векторы магнитной индукции будут по окружности:
			$$
			B\cdot2\pi r = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\pi\alpha}{h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2) \quad \Rightarrow \quad B = \frac{\mu_0\varepsilon_0 \alpha}{2r_0h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2)
			$$

			#### Ответ

			$$
			а. \boxed{B = \frac{\mu_0\varepsilon_0\varepsilon\pi\alpha r}{2}} \quad
			б.\boxed{ B = \frac{\mu_0\varepsilon_0 \alpha}{2r_0h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2)}
			$$
		unchanged lines 38

	### Условие		### Условие

	$11.6.11^*.$ а. Напряженность электрического поля внутри круглого плоского		$11.6.11^*.$ а. Напряженность электрического поля внутри круглого плоского
	конденсатора, заполненного веществом с диэлектрической проницаемостью $ε$,		конденсатора, заполненного веществом с диэлектрической проницаемостью $ε$,
	линейно растет со временем: $E = αt$. Определите индукцию магнитного поля		линейно растет со временем: $E = αt$. Определите индукцию магнитного поля
	внутри конденсатора на расстоянии $r$ от его центра.		внутри конденсатора на расстоянии $r$ от его центра.
	@@ -7,6 +7,7 @@Условие
	б. Напряжение на обкладках плоского конденсатора линейно растет со временем: $V = αt$. Радиус обкладок $r_0$, расстояние между ними $h$. По оси конденсатора		б. Напряжение на обкладках плоского конденсатора линейно растет со временем: $V = αt$. Радиус обкладок $r_0$, расстояние между ними $h$. По оси конденсатора
	вставлен диэлектрический цилиндр радиуса r с диэлектрической непроницаемостью $ε$. Определите индукцию магнитного поля на боковой поверхности цилиндра		вставлен диэлектрический цилиндр радиуса r с диэлектрической непроницаемостью $ε$. Определите индукцию магнитного поля на боковой поверхности цилиндра
	и на краю конденсатора.		и на краю конденсатора.
			![К задаче $11.6.11$\|206x92, 50%](../../img/11.6.11/2025-07-18_15-43-51.png)

	### Решение		### Решение
	а. Из обобщённой теоремы о циркуляции для тока смещения:		а. Из обобщённой теоремы о циркуляции для тока смещения:
	$$		$$
	\oint Bdl = \mu_0\varepsilon_0 \frac{dN}{dt}		\oint Bdl = \mu_0\varepsilon_0 \frac{dN}{dt}
	$$		$$
	Поток электрического поля равен:		Поток электрического поля равен:
	$$		$$
	N = \pi r^2 \varepsilon E = \pi r^2 \varepsilon \alpha t		N = \pi r^2 \varepsilon E = \pi r^2 \varepsilon \alpha t
	$$		$$
	Тогда циркуляция магнитного поля равна:		Тогда циркуляция магнитного поля равна:
	$$		$$
	\oint Bdl = \mu_0\varepsilon_0\varepsilon\pi\alpha r^2		\oint Bdl = \mu_0\varepsilon_0\varepsilon\pi\alpha r^2
	$$		$$
	Магнтное поле циркулирует по окружности, поэтому:		Магнтное поле циркулирует по окружности, поэтому:
	$$		$$
	B\cdot2\pi r = \mu_0\varepsilon_0\varepsilon\pi\alpha r^2 \quad \Rightarrow \quad B = \frac{\mu_0\varepsilon_0\varepsilon\pi\alpha r}{2}		B\cdot2\pi r = \mu_0\varepsilon_0\varepsilon\pi\alpha r^2 \quad \Rightarrow \quad B = \frac{\mu_0\varepsilon_0\varepsilon\pi\alpha r}{2}
	$$		$$
	б. Из обобщённой теоремы о циркуляции для тока смещения:		б. Из обобщённой теоремы о циркуляции для тока смещения:
	$$		$$
	\oint Bdl = \mu_0\varepsilon_0 \frac{dN}{dt}		\oint Bdl = \mu_0\varepsilon_0 \frac{dN}{dt}
	$$		$$
	Поток электрического поля равен:		Поток электрического поля равен:
	$$		$$
	N = \varepsilon E \pi r^2 + E\pi(r_0^2 - r^2) = \frac{\pi\alpha t}{h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2)		N = \varepsilon E \pi r^2 + E\pi(r_0^2 - r^2) = \frac{\pi\alpha t}{h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2)
	$$		$$
	Циркуляция магнитного поля равна:		Циркуляция магнитного поля равна:
	$$		$$
	\oint Bdl = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\pi\alpha}{h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2)		\oint Bdl = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\pi\alpha}{h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2)
	$$		$$
	Циркулировать векторы магнитной индукции будут по окружности:		Циркулировать векторы магнитной индукции будут по окружности:
	$$		$$
	B\cdot2\pi r = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\pi\alpha}{h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2) \quad \Rightarrow \quad B = \frac{\mu_0\varepsilon_0 \alpha}{2r_0h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2)		B\cdot2\pi r = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\pi\alpha}{h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2) \quad \Rightarrow \quad B = \frac{\mu_0\varepsilon_0 \alpha}{2r_0h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2)
	$$		$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	а. \boxed{B = \frac{\mu_0\varepsilon_0\varepsilon\pi\alpha r}{2}} \quad		а. \boxed{B = \frac{\mu_0\varepsilon_0\varepsilon\pi\alpha r}{2}} \quad
	б.\boxed{ B = \frac{\mu_0\varepsilon_0 \alpha}{2r_0h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2)}		б.\boxed{ B = \frac{\mu_0\varepsilon_0 \alpha}{2r_0h} (r^2(\varepsilon - 1) + r_0^2)}
	$$		$$
	unchanged lines 38