Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #15111 parent #15110 ← older newer →
ru/3.6.25.md +36 −3
@@ -1,11 +1,44 @@
### Условие
−$3.6.25.$ [Вставьте условие задачи]
+$3.6.25.$ В газе распространяется ударная волна, в которой давление $P$ и плотность $\rho$ газа сильно превосходят давление $P_{0}$ и плотность $\rho_{0}$ невозмущенного газа. Найдите по этим данным скорость ударной волны.
+![К задаче $3.6.25$|162x103, 40%](../../img/3.6.25/3.6.25.png)
+
### Решение
−jhg
+Будем считать, что невозмущённый газ не имеет направленной скорости, то есть он неподвижен. Пусть скорость ударной волны равна $c$. После прохождения ударной волны газ сжимается, создаётся скачок давления и тем самым ударная волна разгоняет газ за собой. В области после ударного фронта газ приобретает некоторую скорость $u$, направление этой скорости такое же, как направление скорости ударной волны.
+Перейдём в систему отсчёта связанную с фронтом ударной волны. В этой системе отсчёта газ до фронта движется навстречу фронту со скоростью $c$, а после фронта газ движется в том же направлении, но медленнее, со скоростью $c-u$.
+
+Пусть поперечное сечение области, где находится газ, имеет площадь $S$. Запишем закон сохранения массы (приток массы к фронту равен отток массы от фронта):
+
+$$\rho_{0}c\Delta tS=\rho(c-u)\Delta tS$$
+$$\rho_{0}c=\rho(c-u) \tag {1}$$
+
+Запишем закон сохранения импульса:
+
+$$(F-F_{0})\Delta t=\left( \rho_{0}c\cdot c-\rho(c-u)\cdot (c-u) \right)S\Delta t$$
+
+Поскольку давление $P=\frac{F}{S}$, перепишим закон сохранения импульса в виде:
+
+$$P-P_{0}=\rho_{0}c^{2}-\rho(c-u)^{2} \tag{2}$$
+
+Подставим (1) в (2):
+
+$$P-P_{0}=\rho_{0}c^{2}-\rho_{0}c(c-u)=\rho_{0}cu$$
+
+Отсюда:
+
+$$u=\frac{P-P_{0}}{\rho_{0}c} \tag{3}$$
+
+Подставим (3) в (1):
+
+$$\rho_{0}c=\rho\left( c-\frac{P-P_{0}}{\rho_{0}c} \right)$$
+
+Решая это уравнение относительно $c^{2}$, окончательно получим:
+
+$$c^{2}=\frac{\rho(P-P_{0})}{\rho_{0}(\rho-\rho_{0})}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$c^{2}=\frac{\rho(P-P_{0})}{\rho_{0}(\rho-\rho_{0})}$$