Edit to “Решение”
ru/7.4.25.md
+18 −0
| ### Условие | |||
| $7.4.25.$ На горизонтальной плоскости на расстоянии $R$ друг от друга поместили два тела массы $m$, имеющие заряд $Q$. В результате электрического взаимодействия тела начинают двигаться по плоскости. Какое расстояние пройдет каждое из тел, если коэффициент трения тел о плоскость равен $\mu$? Какую максимальную скорость приобретут тела в процессе движения? | |||
| @@ -4,9 +4,27 @@Условие | |||
| ### Решение | |||
| + | Наши тела движутся симметрично по прямой, соединяющей их, под действием кулоновской силы и силы трения. Сразу отмечу, что тела начнут двигаться при условии: $F_{кул}\gt F_{тр}$ или $\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R^{2}}\gt \mu mg$. Пусть каждое тело сместилось на $x$ до полной остановки, тогда конечное расстояние между телами: $R+2x$. Изменение потенциальной энергии электростатического взаимодействия тел идёт на работу сил трения. Запишим закон сохранения энергии: | ||
| + | $$\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}(R+2x)}=2\mu mgx$$ | ||
| + | |||
| + | После несложных математических преобразований сразу найдём $x$: | ||
| + | |||
| + | $$x=\frac{R}{2}\left( \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\mu mgR^{2}}-1 \right)$$ | ||
| + | |||
| + | Максимальная скорость достигается, когда ускорение тел будет равно 0. Пусть каждое тело пройдёт расстояние $s$ до точки, где они приобретут максимальные скорости. Запишим второй закон Ньютона: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\left( R+2s \right)^{2}}-\mu mg=0$$ | ||
| + | |||
| + | здесь учтено, что $a=0$. | ||
| + | |||
| + | Из этого уравнения найдём $s$: | ||
| + | |||
| + | $$s=\frac{R}{2}\left( \frac{Q}{\sqrt{4\pi\varepsilon_{0}\mu mgR^{2}}}-1 \right)$$ | ||
| + | |||
| + | Снова запишим закон сохранения энергии | ||
| #### Ответ | |||
| $$x=\frac{R}{2}\left( \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\mu mgR^{2}}-1 \right)$$ | |||
| $$\upsilon_{max}=\sqrt{\mu gR}\left( \frac{Q}{\sqrt{4\pi\varepsilon_{0}\mu mgR^{2}}}-1 \right)$$ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $7.4.25.$ На горизонтальной плоскости на расстоянии $R$ друг от друга поместили два тела массы $m$, имеющие заряд $Q$. В результате электрического взаимодействия тела начинают двигаться по плоскости. Какое расстояние пройдет каждое из тел, если коэффициент трения тел о плоскость равен $\mu$? Какую максимальную скорость приобретут тела в процессе движения? | $7.4.25.$ На горизонтальной плоскости на расстоянии $R$ друг от друга поместили два тела массы $m$, имеющие заряд $Q$. В результате электрического взаимодействия тела начинают двигаться по плоскости. Какое расстояние пройдет каждое из тел, если коэффициент трения тел о плоскость равен $\mu$? Какую максимальную скорость приобретут тела в процессе движения? | ||
| @@ -4,9 +4,27 @@Условие | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Наши тела движутся симметрично по прямой, соединяющей их, под действием кулоновской силы и силы трения. Сразу отмечу, что тела начнут двигаться при условии: $F_{кул}\gt F_{тр}$ или $\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R^{2}}\gt \mu mg$. Пусть каждое тело сместилось на $x$ до полной остановки, тогда конечное расстояние между телами: $R+2x$. Изменение потенциальной энергии электростатического взаимодействия тел идёт на работу сил трения. Запишим закон сохранения энергии: | |||
| $$\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}(R+2x)}=2\mu mgx$$ | |||
| После несложных математических преобразований сразу найдём $x$: | |||
| $$x=\frac{R}{2}\left( \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\mu mgR^{2}}-1 \right)$$ | |||
| Максимальная скорость достигается, когда ускорение тел будет равно 0. Пусть каждое тело пройдёт расстояние $s$ до точки, где они приобретут максимальные скорости. Запишим второй закон Ньютона: | |||
| $$\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\left( R+2s \right)^{2}}-\mu mg=0$$ | |||
| здесь учтено, что $a=0$. | |||
| Из этого уравнения найдём $s$: | |||
| $$s=\frac{R}{2}\left( \frac{Q}{\sqrt{4\pi\varepsilon_{0}\mu mgR^{2}}}-1 \right)$$ | |||
| Снова запишим закон сохранения энергии | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$x=\frac{R}{2}\left( \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\mu mgR^{2}}-1 \right)$$ | $$x=\frac{R}{2}\left( \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\mu mgR^{2}}-1 \right)$$ | ||
| $$\upsilon_{max}=\sqrt{\mu gR}\left( \frac{Q}{\sqrt{4\pi\varepsilon_{0}\mu mgR^{2}}}-1 \right)$$ | $$\upsilon_{max}=\sqrt{\mu gR}\left( \frac{Q}{\sqrt{4\pi\varepsilon_{0}\mu mgR^{2}}}-1 \right)$$ | ||