Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #15182 parent #15181 ← older
ru/8.1.18.md +47 −3
@@ -1,11 +1,55 @@
### Условие
−$8.1.18.$ [Вставьте условие задачи]
+$8.1.18.$ Анод и катод диода имеют произвольную форму. Пусть при определенном напряжении на диоде в режиме, далеком от насыщения, между электродами установится пространственный заряд, плотность которого $\rho(x,y,z)$. Во сколько раз увеличится плотность этого заряда, если напряжение на диоде увеличить в $n$ раз? Во сколько раз увеличится ток через диод?
### Решение
−sdf
+Данная задача есть обобщением задачи $8.1.17$ с одномерного случая на трёхмерный случай, поэтому для понимания решения рекомендую сначала ознакомится с решением задачи $8.1.17$.
+Пусть при напряжении на диоде $V$ установился стационарный ток, и распределение пространственного заряда — $\rho(x,y,z)$. В произвольной точке с радиус-вектором $\vec r$ потенциал поля характеризуется некоторой функцией $f(\vec r)$:
+
+$$\varphi(\vec r)=V\cdot f(\vec r)$$
+
+Уравнение Пауссона для электростатического поля:
+
+$$\nabla^{2}\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$$
+
+Отсюда объёмная плотность заряда:
+
+$$\rho(\vec r)=-\varepsilon_{0}\nabla^{2}\varphi(\vec r)=-\varepsilon_{0}V\nabla^{2}f(\vec r)$$
+
+При установке напряжения на диоде равным $nV$, новая объёмная плотность заряда будет:
+
+$$\rho^{'}(\vec r)=-\varepsilon_{0}nV\nabla^{2}f(\vec r)$$
+
+Тогда:
+
+$$\frac{\rho^{'}(\vec r)}{\rho(\vec r)}=\frac{-\varepsilon_{0}nV\nabla^{2}f(\vec r)}{-\varepsilon_{0}V\nabla^{2}f(\vec r)}=n$$
+
+Плотность заряда возрастает в $n$ раз.
+
+Из закона сохранения энергии следует, что скорость электронов:
+
+$$\upsilon\sim \sqrt{\varphi(\vec r)}=V^{\frac{1}{2}}\sqrt{f(\vec r)}$$
+
+Плотность тока:
+
+$$j(\vec r)=-\rho(\vec r)\cdot \upsilon(\vec r)=\varepsilon_{0}V^{\frac{3}{2}}\sqrt{f(\vec r)}\cdot \nabla^{2}f(\vec r)$$
+
+Полный ток:
+
+$$I=\int\int jdS\sim V^{\frac{3}{2}}$$
+
+При установке напряжения на диоде равным $nV$, новый полный ток будет:
+
+$$I^{'}\sim (nV)^{\frac{3}{2}}$$
+
+Тогда:
+
+$$\frac{I^{'}}{I}=\frac{(nV)^{\frac{3}{2}}}{V^{\frac{3}{2}}}=n^{\frac{3}{2}}$$
+
+Ток возрастает в $n^{\frac{3}{2}}$ раз.
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+Плотность заряда возрастает в $n$ раз, а ток — в $n^{\frac{3}{2}}$ раз.