Решение

Теорма Гаусса:

$$\Phi = \vec{E}\cdot \vec{S} = \frac{\sum q}{\varepsilon_0}$$

а) В качестве гауссовой поверхности возьмём сферу, центр которой совпадает с центром исходной, а радиус $r$. При $r\leq R$:

$$\Phi = \vec{E}\cdot \vec{S} = \frac{\sum q}{\varepsilon_0} = 0$$

$$E = 0$$

Т.к заряд внутри сферы равен нулю

При $r>R$:

$$\Phi = E\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$

$$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$$

б) В силу бесконечности нити, исходя из симметрии, очевидно, что вектор напряжённости перпендикулярен нити

В качестве гауссовой поверхности берём циллиндр, ось которого совпадает с нитью, радиус $r$, а высота $H$. Тогда из т. Гаусса:

$$\Phi = E\cdot 2\pi rH = \frac{\rho H}{\varepsilon_0}$$

$$E = \frac{\rho}{2\pi\varepsilon_0 r}$$

в) В качестве гауссовой поверхности возьмём параллелепипед площадь основания которого $S$. Из соображений симметрии вектор напряжённости поля перпендикулярен плоскости, значит поток через бокову поверхности цилиндра равен нулю. Тогда:

$$\Phi=E\cdot 2S = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0}$$

$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

г) В качестве гауссовой поверхности берём сферу радиуса r. тогда при $r\leq R$

$$\Phi=E\cdot 4\pi r^2= \frac{\rho 4\pi r^3}{3\varepsilon_0}$$

$$E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$$

При $r>R$:

$$\Phi =E\cdot 4\pi r^2= \frac{\rho 4\pi R^3}{3\varepsilon_0}$$

$$E = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}$$

В итоге получим график:

д) Гауссова поверхность - коаксиальный цилиндр. При $r\leq R$:

$$\Phi = E\cdot 2\pi rH = \frac{\rho \pi r^2H}{\varepsilon_0}$$

$$E=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$$

При $r>R$:

$$\Phi = E 2\pi rH = \frac{\rho \pi R^2H}{\varepsilon_0}$$

$$E = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r}$$

Тогда график:

e) Из соображений симметрии напряжённость направленна перпендикулярно пластине. Так же, опять из симметрии, напряжённость в центре пластины равна нулю. При смещении от центра на расстояние $x\leq \frac{h}{2}$ Напряжённость будет равна напряжённости плоскости в координатах от $x$ до $-x$, суперпозиция остального равна нулю. Тогда(гауссова поверхность - цилиндр площадью основания $S$):

$$\Phi = E (2S+2пиRh) = \frac{\rho \cdot 2Sx}{\varepsilon_0}$$

$$E = \frac{\rho x}{\varepsilon_0}$$

При $x>\frac{h}{2}$ аналогично плоскости, учитывая что $\sigma = \rho h$:

$$E = \frac{\rho h}{2\varepsilon_0}$$

Тогда график: