Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #15202 parent #15200 ← older newer →
ru/8.2.11.md +42 −3
@@ -1,11 +1,50 @@
### Условие
−$8.2.11.$ [Вставьте условие задачи]
+$8.2.11.$ В центре проводящего шара с удельным сопротивлением $\rho$ оказался избыточный заряд $Q_{0}$.
+$\textbf{а. }$ Как зависит от $Q_{0}$ ток, текущий из центра шара к его поверхности?
+
+$\textbf{б. }$ Как будет меняться заряд в центре шара со временем?
+
### Решение
−fds
+$\textbf{а. }$ Внутри нашего проводящего шара радиуса $R$ очерчил сферу радиуса $r$ $(r\lt R)$. Площадь данной сферы $S=4\pi r^{2}$. Запишем теорему Гаусса:
+$$E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{0}}{\varepsilon_{0}}\Longrightarrow E(r)=\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$$
+
+Закон Ома в дифференциальной форме:
+
+$$j(r)=\frac{1}{\rho}E(r)$$
+$$j(r)=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$$
+
+здесь $j(r)$ - плотность тока.
+
+Полный ток через сферу радиуса $r$:
+
+$$I=j(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{Q_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q_{0}}{\varepsilon_{0}\rho}$$
+
+$\textbf{б. }$ Внутри проводника заряд не может оставаться сосредоточенным: он начнёт перетекать к поверхности, вызывая ток, направленный от центра к поверхности. Используя результат подзадачи $\textbf{а}$, можем записать:
+
+$$I(t)=\frac{Q(t)}{\varepsilon_{0}\rho}$$
+
+Но ток — это убывание заряда:
+
+$$I(t)=-\frac{dQ}{dt}$$
+
+Подставим:
+
+$$-\frac{dQ}{dt}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}\rho}\Longrightarrow \frac{dQ}{Q}=-\frac{dt}{\varepsilon_{0}\rho}$$
+
+Проинтегрируем, а потом проекспонируем:
+
+$$Q(t)=C\cdot\exp\left( -\frac{t}{\varepsilon_{0}\rho} \right)$$
+
+Из начального условия $Q(0)=Q_{0}$ получим, что $C=Q_{0}$. Тогда:
+
+$$Q=Q_{0}\exp\left( -\frac{t}{\varepsilon_{0}\rho} \right)$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$\textbf{а. }I=\frac{Q_{0}}{\varepsilon_{0}\rho}$$
+
+$$\textbf{б. }Q=Q_{0}\exp\left( -\frac{t}{\varepsilon_{0}\rho} \right)$$