Решение

В проводнике закон Ома в дифференциальной форме:

$$\vec j=\lambda \vec E\Longrightarrow \vec E=\frac{\vec j}{\lambda}$$

Разложим вектор напряжённости на тангенциальную $(E_{\parallel })$ и нормальную $(E_{\bot })$ составляющие.

Тангенциальная компонента поля непрерывна для стационарного тока (следствие из роторного уравнения Максвелла):

$$E_{\parallel 1}=E_{\parallel 2}$$
$$\frac{j\sin\alpha_{1}}{\lambda_{1}}=\frac{j_{2}\sin\alpha_{2}}{\lambda_{2}} \tag{1}$$

Так как ток непрерывный через границу (нормальная компонента тока не накапливается):

$$j\cos\alpha_{1}=j_{2}\cos\alpha_{2} \tag{2}$$

Разделим (1) на (2):

$$\frac{\tan\alpha_{1}}{\lambda_{1}}=\frac{\tan\alpha_{2}}{\lambda_{2}}$$
$$\tan\alpha_{2}=\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}\tan\alpha_{1}$$

Запишем теорему Гаусса для нормальной составляющей поля:

$$E_{\bot 1}-E_{\bot 2}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$$
$$\frac{j\cos\alpha_{1}}{\lambda_{1}}-\frac{j_{2}\cos\alpha_{2}}{\lambda_{2}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$$

Учитывая (2), получим:

$$\sigma=\varepsilon_{0}j\cos\alpha_{1}\left( \frac{1}{\lambda_{1}}-\frac{1}{\lambda_{2}} \right)$$