Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited Aug 3, 2025, 7:14 PM

View solution History

revision #15228 parent #15227 ← older

ru/8.4.10.md +47 −3

		@@ -1,11 +1,55 @@
			### Условие

		−	$8.4.10.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$8.4.10.$ Батарея с ЭДС $\mathscr{E}$ состоит из $n$ последовательно соединенных одинаковых элементов. Как нужно заряжать конденсатор емкости $C$, чтобы потери составляли наименьшую возможную долю запасенной энергии? Какова эта доля?

			### Решение

		−	fds
		+	При подключении к батареи конденсатор получит заряд $Q=C\mathscr{E}$ и запасённая энергия на конденсаторе будет:

		+	$$W_{кон}=\frac{1}{2}C\mathscr{E}^{2}$$
		+
		+	Однако батарея отдаёт при этом энергию:
		+
		+	$$W_{бат}=Q\mathscr{E}=C\mathscr{E}^{2}$$
		+
		+	Итак, половина энергии теряется в виде джоулевого тепла.
		+
		+	Если батарея состоит из $n$ одинаковых элементов, у каждого ЭДС:
		+
		+	$$E=\frac{\mathscr{E}}{n}$$
		+
		+	Идея в том, чтобы заряжать конденсатор поэтапно, на каждом шаге подключая всё большее число элементов последовательно, чтобы напряжение на источнике в каждый момент было почти равно напряжению на конденсаторе, тем самым минимизировать ток и, соответственно, потери.
		+
		+	На каждом шаге $k$ (от 1 до $n$) подключается батарея с ЭДС $E_{k}=\frac{k\mathscr{E}}{n}$ и заряд $Q_{k}$ увеличивается до:
		+
		+	$$Q_{k}=C\frac{k\mathscr{E}}{n}$$
		+
		+	При этом прирост заряда на шаге $k$:
		+
		+	$$\Delta Q_{k}=Q_{k}-Q_{k-1}=C\left( \frac{k\mathscr{E}}{n}-\frac{(k-1)\mathscr{E}}{n} \right)=C\frac{\mathscr{E}}{n}$$
		+
		+	Энергия, полученная от батареи на шаге $k$:
		+
		+	$$W_{k}^{бат}=E_{k}\cdot \Delta Q_{k}=\frac{k\mathscr{E}}{n}\cdot C\frac{\mathscr{E}}{n}=C\mathscr{E}^{2}\cdot \frac{k}{n^{2}}$$
		+
		+	Полная энергия, полученная от всех источников батареи:
		+
		+	$$W_{бат}=\sum_{k=1}^{n}W_{k}^{бат}=C\mathscr{E}^{2}\cdot \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}=C\mathscr{E}^{2}\cdot\frac{1}{n^{2}}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=C\mathscr{E}^{2}\cdot\frac{n+1}{2n}$$
		+
		+	Запасённая энергия на конденсаторе, как и прежде, будет:
		+
		+	$$W_{кон}=\frac{1}{2}C\mathscr{E}^{2}$$
		+
		+	Долю потерь можна выразить так:
		+
		+	$$\eta=\frac{W_{бат}-W_{кон}}{W_{кон}}$$
		+
		+	Подставим:
		+
		+	$$\eta=\frac{C\mathscr{E}^{2}\cdot\frac{n+1}{2n}-\frac{1}{2}C\mathscr{E}^{2}}{\frac{1}{2}C\mathscr{E}^{2}}=\frac{n+1-n}{n}=\frac{1}{n}$$
		+
		+	Итак, чем больше элементов в батарее, тем меньшая доля энергии теряется.
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	Сначала конденсатор нужно заряжать от одного элемента, потом от двух последовательно соединенных и т. д. Тогда потери энергии составят $1/n$ долю запасенной энергии.

	@@ -1,11 +1,55 @@
	### Условие		### Условие

	$8.4.10.$ [Вставьте условие задачи]		$8.4.10.$ Батарея с ЭДС $\mathscr{E}$ состоит из $n$ последовательно соединенных одинаковых элементов. Как нужно заряжать конденсатор емкости $C$, чтобы потери составляли наименьшую возможную долю запасенной энергии? Какова эта доля?

	### Решение		### Решение

	fds		При подключении к батареи конденсатор получит заряд $Q=C\mathscr{E}$ и запасённая энергия на конденсаторе будет:

			$$W_{кон}=\frac{1}{2}C\mathscr{E}^{2}$$

			Однако батарея отдаёт при этом энергию:

			$$W_{бат}=Q\mathscr{E}=C\mathscr{E}^{2}$$

			Итак, половина энергии теряется в виде джоулевого тепла.

			Если батарея состоит из $n$ одинаковых элементов, у каждого ЭДС:

			$$E=\frac{\mathscr{E}}{n}$$

			Идея в том, чтобы заряжать конденсатор поэтапно, на каждом шаге подключая всё большее число элементов последовательно, чтобы напряжение на источнике в каждый момент было почти равно напряжению на конденсаторе, тем самым минимизировать ток и, соответственно, потери.

			На каждом шаге $k$ (от 1 до $n$) подключается батарея с ЭДС $E_{k}=\frac{k\mathscr{E}}{n}$ и заряд $Q_{k}$ увеличивается до:

			$$Q_{k}=C\frac{k\mathscr{E}}{n}$$

			При этом прирост заряда на шаге $k$:

			$$\Delta Q_{k}=Q_{k}-Q_{k-1}=C\left( \frac{k\mathscr{E}}{n}-\frac{(k-1)\mathscr{E}}{n} \right)=C\frac{\mathscr{E}}{n}$$

			Энергия, полученная от батареи на шаге $k$:

			$$W_{k}^{бат}=E_{k}\cdot \Delta Q_{k}=\frac{k\mathscr{E}}{n}\cdot C\frac{\mathscr{E}}{n}=C\mathscr{E}^{2}\cdot \frac{k}{n^{2}}$$

			Полная энергия, полученная от всех источников батареи:

			$$W_{бат}=\sum_{k=1}^{n}W_{k}^{бат}=C\mathscr{E}^{2}\cdot \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}=C\mathscr{E}^{2}\cdot\frac{1}{n^{2}}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=C\mathscr{E}^{2}\cdot\frac{n+1}{2n}$$

			Запасённая энергия на конденсаторе, как и прежде, будет:

			$$W_{кон}=\frac{1}{2}C\mathscr{E}^{2}$$

			Долю потерь можна выразить так:

			$$\eta=\frac{W_{бат}-W_{кон}}{W_{кон}}$$

			Подставим:

			$$\eta=\frac{C\mathscr{E}^{2}\cdot\frac{n+1}{2n}-\frac{1}{2}C\mathscr{E}^{2}}{\frac{1}{2}C\mathscr{E}^{2}}=\frac{n+1-n}{n}=\frac{1}{n}$$

			Итак, чем больше элементов в батарее, тем меньшая доля энергии теряется.

	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		Сначала конденсатор нужно заряжать от одного элемента, потом от двух последовательно соединенных и т. д. Тогда потери энергии составят $1/n$ долю запасенной энергии.