Решение

На шарики действует сила упругости со стороны пружины и сила Кулона. Наша система замкнута, поэтому в ней выполняется закон сохранения энергии. Запишим его для крайних положений, там где скорости шариков равны 0:

$$\frac{1}{2}k (l_1-l_0)^2 + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{l_1} = \frac{1}{2}k (l_2-l_0)^2 + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{l_2}$$

После простых преобразований сразу найдём $k$:

$$k=\frac{q^{2}}{2\pi\varepsilon_{0}l_{1}l_{2}(l_{1}+l_{2}-2l_{0})}$$

P.S. В ответе задачника опечатка\ошибка.