| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $7.4.36.$ Плазма состоит из электронов и тяжелых положительно заряженных ионов. Число электронов и ионов в единице объема одинаково и равно $n$. | | $7.4.36.$ Плазма состоит из электронов и тяжелых положительно заряженных ионов. Число электронов и ионов в единице объема одинаково и равно $n$. |
| В слое плазмы толщины $h$ всем электронам сообщили одинаковую скорость $v$ в | | В слое плазмы толщины $h$ всем электронам сообщили одинаковую скорость $v$ в |
| направлении, перпендикулярном слою. Через какое время основная масса электронов остановится электрическими силами, если: а) $v >> he\sqrt{n/m_e}$; б)$v << he\sqrt{n/m_e}$, где $e$, $m_e$ — заряд и масса электрона? Оцените в обоих случаях частоту колебания электронов. | | направлении, перпендикулярном слою. Через какое время основная масса электронов остановится электрическими силами, если: а) $v >> he\sqrt{n/m_e}$; б)$v << he\sqrt{n/m_e}$, где $e$, $m_e$ — заряд и масса электрона? Оцените в обоих случаях частоту колебания электронов. |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| Найдём скорость, чтоб электрон, который начал своё движение в центре слоя, мог долететь до его границы. Тогда конечная скорость равна нулю. Запишем закон изменения энергии: | | Найдём скорость, чтоб электрон, который начал своё движение в центре слоя, мог долететь до его границы. Тогда конечная скорость равна нулю. Запишем закон изменения энергии: |
| $$ | | $$ |
| -\frac{m_ev_{min}^2}{2} = A | | -\frac{m_ev_{min}^2}{2} = A |
| $$ | | $$ |
|  | |  |
| Напряжёность поля в слое толщиной равной половине пути электрона будет определятся как напряжёность двух бесконечной пластины: | | Напряжёность поля в слое толщиной равной половине пути электрона будет определятся как напряжёность двух бесконечной пластины: |
| $$ | | $$ |
| E(x) = \frac{2nex}{2\varepsilon_0} | | E(x) = \frac{2nex}{2\varepsilon_0} |
| $$ | | $$ |
| Тогда сила будет равна: | | Тогда сила будет равна: |
| $$ | | $$ |
| F(x) = -eE(x) = -\frac{ne^2x}{\varepsilon_0} | | F(x) = -eE(x) = -\frac{ne^2x}{\varepsilon_0} |
| $$ | | $$ |
| Тогда работа будет считаться как сумма элементарных работ по интегралу: | | Тогда работа будет считаться как сумма элементарных работ по интегралу: |
| $$ | | $$ |
| A = -\frac{ne^2}{\varepsilon_0}\int_{0}^{\frac{h}{2}}xdx = -\frac{ne^2h^2}{8\varepsilon_0} | | A = -\frac{ne^2}{\varepsilon_0}\int_{0}^{\frac{h}{2}}xdx = -\frac{ne^2h^2}{8\varepsilon_0} |
| E_i = \frac{neh}{2\varepsilon_0} | | E_i = \frac{neh}{2\varepsilon_0} |
| $$ | | $$ |
| Мы можем не учитывать в этом случае движение электронов в слое, тогда время равно: | | Мы можем не учитывать в этом случае движение электронов в слое, тогда время равно: |
| $$ | | $$ |
| t \approx \frac{m_ev}{eE_i} = \frac{2\varepsilon_0 m_e v}{e^2nh} | | t \approx \frac{m_ev}{eE_i} = \frac{2\varepsilon_0 m_e v}{e^2nh} |
| $$ | | $$ |
| Это время равно $t = T/4$, тогда частота: | | Это время равно $t = T/4$, тогда частота: |
| $$ | | $$ |
| \nu \approx \frac{1}{4t} = \frac{e^2nh}{8\varepsilon_0 m_e v} | | \nu \approx \frac{1}{4t} = \frac{e^2nh}{8\varepsilon_0 m_e v} |
| $$ | | $$ |
| б)Если $v << v_{min}$, то электроны не покинут плазму, тогда, по Второму закону Ньютона: | | б)Если $v << v_{min}$, то электроны не покинут плазму, тогда, по Второму закону Ньютона: |
| $$ | | $$ |
| \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{2ne^2}{2\varepsilon_0 m_e}x = 0 | | \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{2ne^2}{2\varepsilon_0 m_e}x = 0 |
| $$ | | $$ |
| Получено уравнение гармонических колебаний. Тогда его период равен: | | Получено уравнение гармонических колебаний. Тогда его период равен: |
| $$ | | $$ |
| T = 2\pi \sqrt{\frac{\varepsilon_0 m_e}{ne^2}} | | T = 2\pi \sqrt{\frac{\varepsilon_0 m_e}{ne^2}} |
| $$ | | $$ |
| Время остановки равно $t = T/4$: | | Время остановки равно $t = T/4$: |
| $$ | | $$ |
| t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0 m_e}{ne^2}} | | t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0 m_e}{ne^2}} |
| $$ | | $$ |
| И частота: | | И частота: |
| $$ | | $$ |
| \nu = 2\pi \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0 m_e}} | | \nu = 2\pi \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0 m_e}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| ### Ответ | | ### Ответ |
| а) | | а) |
| $$ | | $$ |
| \boxed{t \approx \frac{2\varepsilon_0 m_e v}{e^2nh}} | | \boxed{t \approx \frac{2\varepsilon_0 m_e v}{e^2nh}} |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\nu \approx \frac{e^2nh}{8\varepsilon_0 m_e v}} | | \boxed{\nu \approx \frac{e^2nh}{8\varepsilon_0 m_e v}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| б) | | б) |
| $$ | | $$ |
| \boxed{t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}} | | \boxed{t = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0 m_e}{ne^2}}} |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\nu = 2\pi \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0 m_e}}} | | \boxed{\nu = 2\pi \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0 m_e}}} |
| $$ | | $$ |
