| @@ -1,19 +1,47 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $6.2.14.$ [Вставьте условие задачи] |
| | + | $6.2.14^*$ |
| | + | $а.$ При пересечении двух шаров радиуса $R$, центры которых находятся на расстоянии $l$ друг от друга, образуются два «полумесяца», равномерно заряженные разноименными электрическими зарядами. Объемная плотность электрического заряда слева $−\rho$, справа $\rho$. Докажите, что электрическое поле в области пересечения шаров однородно. Найдите напряженность этого поля. |
| | | |
| | + | $б.$ Используя результаты задачи $6.2.14^* а$ и применяя метод предельного перехода: $l \to 0$, $\rho\to\infty$, $l\rho = const$, найдите распределение заряда на сфере радиуса $R$,которое даст внутри сферы однородное электрическое поле напряженности $E$. Как связана с напряженностью поля максимальная поверхностная плотность заряда? |
| | + | |
| | | ### Решение |
| | + |  |
| | | |
| | − | а. При пересечении двух шаров радиуса R, центры которых находятся на расстоянии $l$ друг от друга, образуются два «полумесяца», равномер- |
| | − | но заряженные разноименными электрическими зарядами. Объемная плотность |
| | − | электрического заряда слева −ρ, справа ρ. Докажите, что электрическое поле в |
| | − | области пересечения шаров однородно. Найдите напряженность этого поля. |
| | − | б. Используя результаты задачи 6.2.14∗а и применяя метод предельного пере- |
| | − | хода: l → 0, ρ → ∞, lρ = const, найдите распределение заряда на сфере радиуса R, |
| | − | которое даст внутри сферы однородное электрическое поле напряженности E. |
| | − | Как связана с напряженностью поля максимальная поверхностная плотность за- |
| | − | ряда? |
| | + | $а.$ Поле внутри равномерно заряженного шара с объёмной плотностью заряда $\rho$, как мы нашли в |
| | + | задаче [$6.2.6 ~г$](https://savchenkosolutions.com/ru/6.2.6), равно |
| | + | $$ |
| | + | \vec{E_s}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r} |
| | + | $$ |
| | + | где $\vec{r}$ - вектор, проведённый из центра шара к рассматривоемой точке. |
| | | |
| | + | Если совместить 2 таких шара радиуса $R$ и плотностью заряда $−\rho$ и $\rho$ как указано на рисунке, то получится описанная в задаче конфигурация. |
| | + | |
| | + | Введём вектор $\vec{l}$, направленный из центра положительно заряженного шара в центр отрицательно заряженного, и равный по модулю $l$ |
| | + | |
| | + | Выберем любую точку в области пересечения шаров. Поле в этой точке будет суперпозицией полей двух разноимённо заряженных шаров: |
| | + | $$ |
| | + | \vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r_1} -\vec{r_2})=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{l} |
| | + | $$ |
| | + | Заметим, что поле в любой точке будет направлено вдоль $\vec{l}$ и равно по модулю $E=\frac{\rho l}{3\varepsilon_0}$, значит, поле в области пересечения шаров однородно. |
| | + | |
| | + | $б.$ |
| | + | Пусть $l \to 0$, тогда мы имеем одну сферу радиуса $R$ с тонко "размазанным" по поверхности зарядом. |
| | + | |
| | + | Рассмотрим некую точку на поверхности сферы. Пусть $\angle\alpha=\angle(\vec{l},\vec{r})$. |
| | + | Поверхностную плотность заряда можно представить как |
| | + | $$ |
| | + | \sigma=\rho l\cos\alpha=3\varepsilon_0E\cos\alpha |
| | + | $$ |
| | + | Максимум этой функции, очевидно, равен |
| | + | $$ |
| | + | \sigma_{max}=3\varepsilon_0E |
| | + | $$ |
| | + | |
| | | #### Ответ |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] |
| | + | $a. ~~\vec{E}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{l} $ |
| | + | |
| | + | $б. ~~\sigma=3\varepsilon_0E\cos\alpha$ |
| | + | |
| | + | $~~~~~~\sigma_{max}=3\varepsilon_0E$ |
