New solution

jzmicer edited
View solution History
revision #15268 newer →
ru/6.2.13.md +68 −0
@@ -0,0 +1,68 @@
+### Условие
+
+$6.2.13.$ [Вставьте условие задачи]
+
+### Решение
+
+$6.2.13^∗$ В равномерно заряженном шаре радиуса $R$ вырезали сферическую полость радиуса $r$, центр которой находится на расстоянии $l$ от центра шара. Объемная плотность заряда $\rho$.
+Найдите напряженность электрического поля вдоль прямой, проходящей через центр полости и центр шара.
+Докажите, что электрическое поле в полости однородно.
+
+Представим данную в задаче систему немного иначе: пусть в равномерно заряженый шар радиуса $R$ вставили равномерно заряженный шар радиуса $r$ с объёмной плотностью заряда $-\rho$.
+В результате получается область с нулевым суммарным зарядом, которую можно рассмотреть как указанную в условии полость.
+
+Таким образом, поле в любой точке в полости можно представить как суперпозицию полей внутри двух шаров.
+Поле заряженного шара было найдено в задаче [6.2.6](https://savchenkosolutions.com/ru/6.2.6):
+Внутри шара:
+$$
+\vec{E_s}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r}
+$$
+Вне шара:
+$$
+\vec{E_s}=E = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^3}\vec{r}
+$$
+где $\vec{r}$ - вектор, проведённый из центра шара в рассматривуемую точку.
+Введём вектор $\vec{l}$, направленный из центра положительно заряженного шара в центр отрицательно заряженного, и равный по модулю $l$
+Тогда поле в некой точке в полости равно
+$$
+\vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r_1}-\vec{r_2})=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{l}
+$$
+Поле в любой точке в полости будет направлено вдоль $\vec{l}$ и одинаково по модулю, значит, оно однородно.
+
+Аналогично рассмотрим поле вдоль $\vec{l}$. Пусть $x$ - расстояние точки от центра большего шара.
+
+$0<x<l-r:$
+$$
+\vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2})
+$$
+$$
+E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x+\frac{r^3}{(l-x)^2}} \right)
+$$
+$l+r<x<R:$
+$$
+\vec{E}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2})
+$$
+$$
+E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x-\frac{r^3}{(x-l)^2}} \right)
+$$
+$x>R:$
+$$
+\vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\frac{R^3}{r_1^3}\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2})
+$$
+$$
+E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({\frac{R^3}{(x)^2+\frac{r^3}{(x-l)^2}} \right)
+$$
+P.S. В ответе для случая $x>R$ у Савченко, видимо, опечатка.
+
+$0<x<l-r:~~E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x+\frac{r^3}{(l-x)^2}} \right)$
+
+$ В полости: ~~\vec{E}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{l} $
+
+$l+r<x<R:~~E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x-\frac{r^3}{(x-l)^2}} \right)$
+
+$x>R:~~E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({\frac{R^3}{(x)^2+\frac{r^3}{(x-l)^2}} \right)$
+
+
+#### Ответ
+
+[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]