Решение

Представим данную в задаче систему немного иначе: пусть в равномерно заряженый шар радиуса $R$ вставили равномерно заряженный шар радиуса $r$ с объёмной плотностью заряда $-\rho$.
В результате получается область с нулевым суммарным зарядом, которую можно рассмотреть как указанную в условии полость.

Таким образом, поле в любой точке в полости можно представить как суперпозицию полей внутри двух шаров.
Поле заряженного шара было найдено в задаче 6.2.6:
Внутри шара:
$$\vec{E_s}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r}$$
Вне шара:
$$\vec{E_s}=\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^3}\vec{r}$$
где $\vec{r}$ - вектор, проведённый из центра шара в рассматривуемую точку.

Введём вектор $\vec{l}$, направленный из центра положительно заряженного шара в центр отрицательно заряженного, и равный по модулю $l$.

Тогда поле в некой точке в полости равно
$$\vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r_1}-\vec{r_2})=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{l}$$
Поле в любой точке в полости будет направлено вдоль $\vec{l}$ и одинаково по модулю, значит, оно однородно.

Аналогично рассмотрим поле вдоль $\vec{l}$. Пусть $x$ - расстояние точки от центра большего шара.

$0<x<l-r:$
$$\vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left(\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2}\right)$$
$$E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x+\frac{r^3}{(l-x)^2}} \right)$$
$l+r<x<R:$
$$\vec{E}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left(\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2}\right)$$
$$E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left({x-\frac{r^3}{(x-l)^2}} \right)$$
$x>R:$
$$\vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left(\frac{R^3}{r_1^3}\vec{r_1}-\frac{r^3}{r_2^3}\vec{r_2}\right)$$
$$E=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\left(\frac{R^3}{x^2}+\frac{r^3}{(x-l)^2} \right)$$
$P.S.$ В ответе для случая $x>R$ у Савченко, видимо, опечатка.