Решение

Плотность тока определяется как суммарный заряд, проходящий через единицу площади в единицу времени:

$$\vec j=qn_{e}\left\langle \vec\upsilon_{лаб} \right\rangle=-en_{e}\left\langle \vec\upsilon_{лаб} \right\rangle$$

где $\left\langle \vec\upsilon_{лаб} \right\rangle$ - скорость электрона в лабораторной системе.

Скорость электрона в лабораторной системе равна сумме скорости пылинки и скорости электрона относительно пылинки:

$$\vec\upsilon_{лаб}=\vec u+\vec\upsilon$$

Поскольку распределение направлений $\vec\upsilon$ равновероятны, среднее $\left\langle \vec\upsilon \right\rangle=0$. Поэтому:

$$\left\langle \vec\upsilon_{лаб} \right\rangle=\left\langle \vec u \right\rangle+\left\langle \vec\upsilon \right\rangle=\vec u$$

Окончательно:

$$\vec j=-en_{e}\vec u$$