Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #15350 parent #15349 ← older newer →
ru/2.4.24.md +49 −3
@@ -1,11 +1,57 @@
### Условие
−$2.4.24.$ [Вставьте условие задачи]
+$2.4.24.$ Два тела массы $m_{1}$ и $m_{2}$ соединены недеформированной пружиной жесткости $k$. Затем к телам одновременно приложили противоположно направленные силы $F$. Найдите максимальную кинетическую энергию тел и максимальную потенциальную энергию пружины. Какова наибольшая относительная скорость тел?
### Решение
−sdf
+Перейдём в систему отсчёта связанную с центром масс системы. В данной системе кинетическую энергию тел можна представить как сумму кинетической энергии центра масс и кинетической энергии относительного движения тел:
+$$K=\frac{1}{2}(m_{1}+m_{2})V_{ЦМ}+\frac{1}{2}\cdot\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\upsilon_{отн}^{2}$$
+
+Поскольку внешние силы равны и противоположны, результирующая сила равна 0, значит центр масс остаётся неподвижным $V_{ЦМ}=0$. Тогда:
+
+$$K=\frac{1}{2}\cdot\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\upsilon_{отн}^{2}$$
+
+Запишем закон сохранения энергии: вся работа внешних сил идёт в потенциальную энергию пружины и кинетическую энергию относительного движения.
+
+При суммарном растяжении пружины $r=\Delta x_{1}+\Delta x_{2}$ общая работа внешних сил:
+
+$$A=F\cdot r$$
+
+Потенциальная энергия пружины:
+
+$$U=\frac{1}{2}kr^{2}$$
+
+Тогда закон сохранения энергии примет вид:
+
+$$Fr=\frac{1}{2}kr^{2}+K\Longrightarrow K=Fr-\frac{1}{2}kr^{2}$$
+
+Максимум функции кинетической энергии достигается при:
+
+$$\frac{dK}{dr}=F-kr=0\Longrightarrow r=\frac{F}{k}$$
+
+Подставляем:
+
+$$K_{макс}=F\cdot\frac{F}{k}-\frac{1}{2}k\left( \frac{F}{k} \right)^{2}=\frac{F^{2}}{2k}$$
+
+Максимальная потенциальная энергия пружины приобретается в момент максимального растяжения пружины. В этой точке $\upsilon_{отн}=0$ и значит $K=0$. Тогда закон сохранения энергии можна переписать в следующем виде:
+
+$$Fr_{макс}=\frac{1}{2}kr_{макс}^{2}\Longrightarrow r_{макс}=\frac{2F}{k}$$
+
+Тогда:
+
+$$U_{макс}=\frac{1}{2}kr_{макс}^{2}=\frac{1}{2}k\left( \frac{2F}{k} \right)^{2}=\frac{2F^{2}}{k}$$
+
+Максимальная относительная скорость происходит в момент максимальной кинетической энергии:
+
+$$\frac{1}{2}\cdot\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\upsilon_{отн}^{2}=K_{макс}=\frac{F^{2}}{2k}$$
+
+Отсюда выразим $\upsilon_{отн}$:
+
+$$\upsilon_{отн}=F\sqrt{\frac{m_{1}+m_{2}}{km_{1}m_{2}}}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$K_{макс}=\frac{F^{2}}{2k}$$
+$$U_{макс}=\frac{2F^{2}}{k}$$
+$$\upsilon_{отн}=F\sqrt{\frac{m_{1}+m_{2}}{km_{1}m_{2}}}$$