Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited Aug 26, 2025, 8:09 PM

View solution History

revision #15364 parent #15363 ← older newer →

ru/2.2.40.md +54 −3

		@@ -1,11 +1,62 @@
			### Условие

		−	$2.2.40.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$2.2.40.$ На чаше весов стоят песочные часы. Когда песок внизу, показания весов $2P_{0}$. Вес песка равен $P_{0}$. Часы переворачивают. Нарисуйте график зависимости показания весов от времени. Время падения каждой песчинки $\Delta t$, время протекания песка $T$.

			### Решение

		−	sdf
		+	Пусть масса всего песка $M$, его вес $P_{0}=Mg$.

		+	Обозначим массовую скорость течения песка (масса, высыпающаяся в единицу времени):
		+
		+	$$\dot{m}=\frac{M}{T}=\frac{P_{0}}{gT}$$
		+
		+	Тогда вес в единицу времени высыпающейся массы:
		+
		+	$$\dot{m}g=\frac{P_{0}}{T}$$
		+
		+	Сразу после переворота песок начинает высыпаться, но ещё ни одна частица не долетела до дна, это интервал $0\le t\le \Delta t$, в полёте находится масса, которая не оказывает давление на весы:
		+
		+	$$m_{полёт}=\dot{m}t$$
		+
		+	Поэтому показание весов уменьшается на этот вес: $\dot{m}gt$. Функция показания весов от времени в этом интервале будет иметь вид:
		+
		+	$$P(t)=2P_{0}-\dot{m}gt=2P_{0}-\frac{P_{0}}{T}t$$
		+
		+	Наименьший вес, который покажут весы:
		+
		+	$$P(\Delta t)=2P_{0}-\frac{P_{0}}{T}\Delta t$$
		+
		+	В интервале времени $\Delta t\lt t\lt T-\Delta t$ в любой момент всегда есть частицы в полёте массой $\dot{m}\Delta t$ (они не оказывают давление на весы), но одновременно в единицу времени на дно падает масса $\dot{m}$ со скоростью $\upsilon=g\Delta t$.
		+
		+	Сила, связанная с торможением потока песка:
		+
		+	$$F=\dot{m}\upsilon=\dot{m}g\Delta t$$
		+
		+	точно равна весу частиц, находящихся в полёте: $\dot{m}g\Delta t$. Значит потерянный вес компенсируется импульсной добавкой, и отображение весов остаётся постоянным:
		+
		+	$$P(t)=2P_{0}-P_{полёт}+F=2P_{0}-\dot{m}g\Delta t+\dot{m}g\Delta t=2P_{0}$$
		+
		+	В интервале времени $T-\Delta t\le t\le T$ вес песка уже не уменьшается, а сила импульсного торможения линейно увеличивается со временем: $F=\dot{m}gt$. Функция показания весов от времени в этом интервале будет иметь вид:
		+
		+	$$P(t)=2P_{0}+\dot{m}gt=2P_{0}+\frac{P_{0}}{T}t$$
		+
		+	Наибольший вес, который покажут весы:
		+
		+	$$P(\Delta t)=2P_{0}+\frac{P_{0}}{T}\Delta t$$
		+
		+	В интервале времени $t\gt T$ весь песок внизу и весы будут показывать $P(t)=2P_{0}$.
		+
		+	Итак, кусочно-линейная функция показаний весов:
		+	$$
		+	P(t) =
		+	\begin{cases}
		+	2P_{0} - \dfrac{P_{0}}{T}\,t & 0 \leq t \leq \Delta t, \\\\
		+	2P_{0} & \Delta t < t < T-\Delta t, \\\\
		+	2P_{0} + \dfrac{P_{0}}{T}\,t & T-\Delta t \leq t \leq T, \\\\
		+	2P_{0} & t > T.
		+	\end{cases}
		+	$$
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	![\|248x221, 40%](../../img/2.2.40/2.2.40.png)

	@@ -1,11 +1,62 @@
	### Условие		### Условие

	$2.2.40.$ [Вставьте условие задачи]		$2.2.40.$ На чаше весов стоят песочные часы. Когда песок внизу, показания весов $2P_{0}$. Вес песка равен $P_{0}$. Часы переворачивают. Нарисуйте график зависимости показания весов от времени. Время падения каждой песчинки $\Delta t$, время протекания песка $T$.

	### Решение		### Решение

	sdf		Пусть масса всего песка $M$, его вес $P_{0}=Mg$.

			Обозначим массовую скорость течения песка (масса, высыпающаяся в единицу времени):

			$$\dot{m}=\frac{M}{T}=\frac{P_{0}}{gT}$$

			Тогда вес в единицу времени высыпающейся массы:

			$$\dot{m}g=\frac{P_{0}}{T}$$

			Сразу после переворота песок начинает высыпаться, но ещё ни одна частица не долетела до дна, это интервал $0\le t\le \Delta t$, в полёте находится масса, которая не оказывает давление на весы:

			$$m_{полёт}=\dot{m}t$$

			Поэтому показание весов уменьшается на этот вес: $\dot{m}gt$. Функция показания весов от времени в этом интервале будет иметь вид:

			$$P(t)=2P_{0}-\dot{m}gt=2P_{0}-\frac{P_{0}}{T}t$$

			Наименьший вес, который покажут весы:

			$$P(\Delta t)=2P_{0}-\frac{P_{0}}{T}\Delta t$$

			В интервале времени $\Delta t\lt t\lt T-\Delta t$ в любой момент всегда есть частицы в полёте массой $\dot{m}\Delta t$ (они не оказывают давление на весы), но одновременно в единицу времени на дно падает масса $\dot{m}$ со скоростью $\upsilon=g\Delta t$.

			Сила, связанная с торможением потока песка:

			$$F=\dot{m}\upsilon=\dot{m}g\Delta t$$

			точно равна весу частиц, находящихся в полёте: $\dot{m}g\Delta t$. Значит потерянный вес компенсируется импульсной добавкой, и отображение весов остаётся постоянным:

			$$P(t)=2P_{0}-P_{полёт}+F=2P_{0}-\dot{m}g\Delta t+\dot{m}g\Delta t=2P_{0}$$

			В интервале времени $T-\Delta t\le t\le T$ вес песка уже не уменьшается, а сила импульсного торможения линейно увеличивается со временем: $F=\dot{m}gt$. Функция показания весов от времени в этом интервале будет иметь вид:

			$$P(t)=2P_{0}+\dot{m}gt=2P_{0}+\frac{P_{0}}{T}t$$

			Наибольший вес, который покажут весы:

			$$P(\Delta t)=2P_{0}+\frac{P_{0}}{T}\Delta t$$

			В интервале времени $t\gt T$ весь песок внизу и весы будут показывать $P(t)=2P_{0}$.

			Итак, кусочно-линейная функция показаний весов:
			$$
			P(t) =
			\begin{cases}
			2P_{0} - \dfrac{P_{0}}{T}\,t & 0 \leq t \leq \Delta t, \\\\
			2P_{0} & \Delta t < t < T-\Delta t, \\\\
			2P_{0} + \dfrac{P_{0}}{T}\,t & T-\Delta t \leq t \leq T, \\\\
			2P_{0} & t > T.
			\end{cases}
			$$

	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		![\|248x221, 40%](../../img/2.2.40/2.2.40.png)