Решение

Пусть начальная кинетическая энергия протона равна $E$, тогда импульс протона будет равен:

$$p=\sqrt{2m_{p}E}$$

Поскольку система "протон - атом водорода" замкнута, в ней сохраняется общий импульс системы. Так как изначально атом водорода покоился, то после взаимодействия импульс системы будет равен $p$.

Атом водорода состоит из протона и электрона. Критерием минимальности энергии, которой должен обладать налетающий протон, будет то обстоятельство, что после взаимодействия все три тела (налетающий протон, протон из атома водорода и электрон) движутся как одно целое с общей скоростью, то есть отсутствует относительное движение. Тогда конечная кинетическая энергия всей системы равна:

$$K=\frac{p^{2}}{2(m_{p}+(m_{p}+m_{e}))}=\frac{2m_{p}E}{2(2m_{p}+m_{e})}=\frac{m_{p}E}{2m_{p}+m_{e}}$$

Разность начальной и конечной кинетической энергий идёт на преодоление связи, то есть равна энергии ионизации $E_{ион}$:

$$E-K=E_{ион}$$
$$E-\frac{m_{p}E}{2m_{p}+m_{e}}=E_{ион}$$

Отсюда:

$$E=E_{ион}\cdot \frac{2m_{p}+m_{e}}{m_{p}+m_{e}}$$

Подставив числовые значения величин, получим:

$$E\approx 27,2 \text{ эВ}$$