Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/3.5.17.md
+33 −4
| @@ -1,11 +1,40 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.5.17.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $3.5.17.$ На горизонтальные пластины осциллографа подается сигнал, пропорциональный смещению осциллятора, совершающего слабозатухающие колебания, а на вертикальные — сигнал, пропорциональный его скорости. Изобразите | ||
| + | след луча на экране осциллографа. | ||
| ### Решение | |||
| + | Осциллятор совершает слабозатухающие колебания по следующим законам: | ||
| + | \[ | ||
| + | x(t) = A_0 e^{-\beta t} \cos(\omega t + \varphi_0) | ||
| + | \] | ||
| + | \[ | ||
| + | v(t) = -A_0 e^{-\beta t} [\beta \cos(\omega t + \varphi_0) + \omega \sin(\omega t + \varphi_0)] | ||
| + | \] | ||
| + | где $\beta$ - коэффициент затухания ($\beta \ll \omega$ по условию). | ||
| − | FFF | ||
| + | Для малого затухания ($\beta \ll \omega$) приближённо: | ||
| + | \[ | ||
| + | v(t) \approx -\omega A_0 e^{-\beta t} \sin(\omega t + \varphi_0) | ||
| + | \] | ||
| − | #### Ответ | ||
| + | Выразим оба сигнала через координату $x$: | ||
| + | \[ | ||
| + | x = A e^{-\beta t} \cos\theta, \quad v = -\omega A e^{-\beta t} \sin\theta | ||
| + | \] | ||
| + | где $A = A_0$, $\theta = \omega t + \varphi_0$. | ||
| − | |||
| + | Получаем уравнение траектории: | ||
| + | \[ | ||
| + | \left(\frac{x}{A e^{-\beta t}}\right)^2 + \left(\frac{v}{\omega A e^{-\beta t}}\right)^2 = 1 | ||
| + | \] | ||
| + | |||
| + | Если бы затухание отсутствовало, то траектория была бы окружностью, однако с учётом затухания траектория представляет собой медленно сжимающуюся спираль: | ||
| + | \[ | ||
| + | \frac{x^2}{(A e^{-\beta t})^2} + \frac{v^2}{(\omega A e^{-\beta t})^2} = 1 | ||
| + | \] | ||
| + | |||
| + | Таким образом, на экране осциллографа наблюдается эллиптическая спираль, медленно сжимающаяся к началу координат (ее изображение в ответе) | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + |  | ||
| @@ -1,11 +1,40 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.5.17.$ [Вставьте условие задачи] | $3.5.17.$ На горизонтальные пластины осциллографа подается сигнал, пропорциональный смещению осциллятора, совершающего слабозатухающие колебания, а на вертикальные — сигнал, пропорциональный его скорости. Изобразите | ||
| след луча на экране осциллографа. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Осциллятор совершает слабозатухающие колебания по следующим законам: | |||
| \[ | |||
| x(t) = A_0 e^{-\beta t} \cos(\omega t + \varphi_0) | |||
| \] | |||
| \[ | |||
| v(t) = -A_0 e^{-\beta t} [\beta \cos(\omega t + \varphi_0) + \omega \sin(\omega t + \varphi_0)] | |||
| \] | |||
| где $\beta$ - коэффициент затухания ($\beta \ll \omega$ по условию). | |||
| FFF | Для малого затухания ($\beta \ll \omega$) приближённо: | ||
| \[ | |||
| v(t) \approx -\omega A_0 e^{-\beta t} \sin(\omega t + \varphi_0) | |||
| \] | |||
| #### Ответ | Выразим оба сигнала через координату $x$: | ||
| \[ | |||
| x = A e^{-\beta t} \cos\theta, \quad v = -\omega A e^{-\beta t} \sin\theta | |||
| \] | |||
| где $A = A_0$, $\theta = \omega t + \varphi_0$. | |||
| Получаем уравнение траектории: | |||
| \[ | |||
| \left(\frac{x}{A e^{-\beta t}}\right)^2 + \left(\frac{v}{\omega A e^{-\beta t}}\right)^2 = 1 | |||
| \] | |||
| Если бы затухание отсутствовало, то траектория была бы окружностью, однако с учётом затухания траектория представляет собой медленно сжимающуюся спираль: | |||
| \[ | |||
| \frac{x^2}{(A e^{-\beta t})^2} + \frac{v^2}{(\omega A e^{-\beta t})^2} = 1 | |||
| \] | |||
| Таким образом, на экране осциллографа наблюдается эллиптическая спираль, медленно сжимающаяся к началу координат (ее изображение в ответе) | |||
| #### Ответ | |||
|  | |||