<h3 id="back-link"><a href="/">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
    	$1.3.30^∗.$ Снаряд вылетает из пушки со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту. Какое время снаряд приближается к пушке?
    </p>

	<h3> Решение: </h3>

        <p>Используя результат, полученный в <a href="/1.3.6" target="_blank">1.3.6</a>, в некий момент времени $t$ можно записать следующие уравнения для скорости точки:</p>
        <p class="exp">
        $v_x = v \cos \alpha$ <br>
        $v_y = v \sin \alpha - gt$
        </p>
        <p>Уравнение перемещения точки по осям будет иметь вид:</p>
        <p class="exp">
        $x = vt \cos \alpha$ <br>
        $$y = vt \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}$$
        </p>
        <p>В любой точке $M$ квадрат расстояния $r^2$ от начала координат до этой точки может быть найден по теореме Пифагора. Мы ищем квадрат, чтобы не заморачиваться извлечением квадратного корня, поскольку сама величина $r$ нам не нужна:</p>
        <p class="exp">
        $L_M = r_M^2 = x_M^2 + y_M^2 $<br>
        $$L_M = (vt \cos \alpha)^2 + \left(vt \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}\right)^2$$
        </p>
        <p>Чтобы определить область убывания функции $L(t)$, нужно найти значения $t$, при которых производная $L'(t)$ будет отрицательной. Упростим $L(t)$, раскрыв скобки и используя основное тригонометрическое тождество, а затем найдем производную:</p>
        <p class="exp">
        $$L(t) = t^2v^2 - vt^3g\sin \alpha + \frac{1}{4}g^2t^4$$ 
        $$\frac{dL}{dt} = 2tv^2 - 3vt^2g\sin \alpha + g^2t^3 $$
        $$\frac{dL}{dt} = t(2v^2 - 3vtg\sin \alpha + g^2t^2)$$
        </p>
        <p>Осталось решить неравенство:</p>
        <p class="exp">
        $2v^2 - 3vtg\sin \alpha + g^2t^2 < 0$
        </p>
        <p>Сначала определим точки, где левая часть обращается в ноль, а потом найдем необходимые интервалы. Получается квадратное уравнение относительно $t$; его решение тривиально и приводить я его не буду. Получаем два корня, которые можно записать одним выражением:</p>
        <p class="exp">
        $$t \in \left[t_1;\min\left(t_2, \frac{2v\sin \alpha}{g}\right)\right],$$ 
        $$t_1 = \frac{v}{2g}\left(3\sin \alpha - \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}\right),$$
        $$t_2 = \frac{v}{2g}\left(3\sin \alpha + \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}\right),$$ 
        $$\alpha \in [70.53^\circ; 90^\circ]$$
        </p>
        <p>Если интересует длительность промежутка времени, в который приближение происходит, она равна:</p>
        <p class="exp">
        $$\min\left(t_2, \frac{2v\sin \alpha}{g}\right) - t_1$$
        </p>
        <p>Если минимум равен $t_2$, получаем решение:</p>
        <p class="exp">
        $$\frac{v}{g} \cdot \sqrt{1 - 9\cos^2 \alpha}, \quad \alpha \in [70.53^\circ; 90^\circ]$$
        </p>


    <h4> 
        Ответ: 
    </h4>
        <p>$t=(V/g)\sqrt{9\sin^{2}\alpha-8}\text{ при }\sin\alpha>\sqrt{8/9};$</p>
        <p>$ t=0\text{ при }\sin\alpha<\sqrt{8/9}.$</p>


    <br>

<footer class="row container">
    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small>
    </p>
</footer>