$11.2.18^*$ На поверхности длинного сплошного непроводящего цилиндра радиуса $r$ равномерно распределен заряд, поверхностная плотность которого $\sigma$.
Внешнее однородное магнитное поле индукции $B_0$ направлено вдоль оси цилиндра.
Определите угловую скорость вращения цилиндра после «выключения» внешнего поля. Плотность вещества цилиндра $\rho$.
### Решение
При "выключении" магнитного поля мы уменьшаем магнитный поток, что приводит к возникновению вихревого электрического поля $E$. Из за этого возникает сила Лоренца $F_L=qE$, двигающая заряды на поверхности. Если бы цилиндр был проводящим, то по его поверхности при движении зарядов тёк бы ток. А наш непроводящий цилиндр движется вместе с зарядами.
Важно, что заряды при движении создают собственное магнитное поле, которым, например, в задаче $11.2.14$ мы принебрегали.
Цилиндр длинный, значит влиянием зарядов на торцах можно пренебречь.
Мысленно поделим цилиндр на диски толщиной $dh$. Рассчитаем основные характеристики такого диска:
Теперь найдем собственное магнитное поле вращающегося цилиндра. Можно заметить, что он очень похож на соленоид, причем с бесконечным количеством очень маленьких витков.
Поэтому рассуждения будут аналогичными идеальному соленоиду: внутри поле однородно, снаружи отсутствует.
−
Согласно теореме о циркуляции
+
Согласно теореме Стокса
$$B'dh=\mu_0I$$
$$B'=\mu_0\omega\sigma r $$
Тогда
$$B=B_0+\mu_0\omega\sigma r\tag{7}$$
С учётом этого перепишем 6:
$$-2\sigma d(B_0+\mu_0\omega\sigma r)=\rho r d\omega$$
$$-2\sigma dB_0=\rho r d\omega+2\mu_0\sigma^2 rd\omega\tag{8}$$
$11.2.18^*$ На поверхности длинного сплошного непроводящего цилиндра радиуса $r$ равномерно распределен заряд, поверхностная плотность которого $\sigma$.
$11.2.18^*$ На поверхности длинного сплошного непроводящего цилиндра радиуса $r$ равномерно распределен заряд, поверхностная плотность которого $\sigma$.
Внешнее однородное магнитное поле индукции $B_0$ направлено вдоль оси цилиндра.
Внешнее однородное магнитное поле индукции $B_0$ направлено вдоль оси цилиндра.
Определите угловую скорость вращения цилиндра после «выключения» внешнего поля. Плотность вещества цилиндра $\rho$.
Определите угловую скорость вращения цилиндра после «выключения» внешнего поля. Плотность вещества цилиндра $\rho$.
### Решение
### Решение
При "выключении" магнитного поля мы уменьшаем магнитный поток, что приводит к возникновению вихревого электрического поля $E$. Из за этого возникает сила Лоренца $F_L=qE$, двигающая заряды на поверхности. Если бы цилиндр был проводящим, то по его поверхности при движении зарядов тёк бы ток. А наш непроводящий цилиндр движется вместе с зарядами.
При "выключении" магнитного поля мы уменьшаем магнитный поток, что приводит к возникновению вихревого электрического поля $E$. Из за этого возникает сила Лоренца $F_L=qE$, двигающая заряды на поверхности. Если бы цилиндр был проводящим, то по его поверхности при движении зарядов тёк бы ток. А наш непроводящий цилиндр движется вместе с зарядами.
Важно, что заряды при движении создают собственное магнитное поле, которым, например, в задаче $11.2.14$ мы принебрегали.
Важно, что заряды при движении создают собственное магнитное поле, которым, например, в задаче $11.2.14$ мы принебрегали.
Цилиндр длинный, значит влиянием зарядов на торцах можно пренебречь.
Цилиндр длинный, значит влиянием зарядов на торцах можно пренебречь.
Мысленно поделим цилиндр на диски толщиной $dh$. Рассчитаем основные характеристики такого диска:
Мысленно поделим цилиндр на диски толщиной $dh$. Рассчитаем основные характеристики такого диска:
Теперь найдем собственное магнитное поле вращающегося цилиндра. Можно заметить, что он очень похож на соленоид, причем с бесконечным количеством очень маленьких витков.
Теперь найдем собственное магнитное поле вращающегося цилиндра. Можно заметить, что он очень похож на соленоид, причем с бесконечным количеством очень маленьких витков.
Поэтому рассуждения будут аналогичными идеальному соленоиду: внутри поле однородно, снаружи отсутствует.
Поэтому рассуждения будут аналогичными идеальному соленоиду: внутри поле однородно, снаружи отсутствует.
Согласно теореме о циркуляции
Согласно теореме Стокса
$$B'dh=\mu_0I$$
$$B'dh=\mu_0I$$
$$B'=\mu_0\omega\sigma r $$
$$B'=\mu_0\omega\sigma r $$
Тогда
Тогда
$$B=B_0+\mu_0\omega\sigma r\tag{7}$$
$$B=B_0+\mu_0\omega\sigma r\tag{7}$$
С учётом этого перепишем 6:
С учётом этого перепишем 6:
$$-2\sigma d(B_0+\mu_0\omega\sigma r)=\rho r d\omega$$
$$-2\sigma d(B_0+\mu_0\omega\sigma r)=\rho r d\omega$$
$$-2\sigma dB_0=\rho r d\omega+2\mu_0\sigma^2 rd\omega\tag{8}$$
$$-2\sigma dB_0=\rho r d\omega+2\mu_0\sigma^2 rd\omega\tag{8}$$