|  | |  |
| | | |
| ### Альтернативное решение | | ### Альтернативное решение |
| Для начала докажем, что импульсы и скорости в СО центра масс равны по модулю до соударения, так и после. Запишем координату центр масс системы: | | Для начала докажем, что импульсы и скорости в СО центра масс равны по модулю до соударения, так и после. Запишем координату центр масс системы: |
| $$ | | $$ |
| x_c = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2} | | x_c = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2} |
| $$ | | $$ |
| Продифференцируем выражение по времени, зная что второе тело покоится в ЛСО, и получим скорость центра масс в ЛСО: | | Продифференцируем выражение по времени, зная что второе тело покоится в ЛСО, и получим скорость центра масс в ЛСО: |
| $$ | | $$ |
| v_c = \frac{m_1v_1}{m_1 + m_2} | | v_c = \frac{m_1v_1}{m_1 + m_2} |
| $$ | | $$ |
| Перейдём в СО центра масс, тогда получим выражения для скоростей в СО центра масс до соударения: | | Перейдём в СО центра масс, тогда получим выражения для скоростей в СО центра масс до соударения: |
| $$ | | $$ |
| v_{1c} = v - v_c = \frac{m_2v_1}{m_1 + m_2} | | v_{1c} = v - v_c = \frac{m_2v_1}{m_1 + m_2} |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| v_{2c} = v_c = \frac{m_1v_1}{m_1 + m_2} | | v_{2c} = v_c = \frac{m_1v_1}{m_1 + m_2} |
| $$ | | $$ |
| Тогда их импульсы: | | Тогда их импульсы: |
| $$ | | $$ |
| p_{1c} = m_1v_{1c} = \frac{m_1m_2v_1}{m_1 + m_2} | | p_{1c} = m_1v_{1c} = \frac{m_1m_2v_1}{m_1 + m_2} |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| p_{2c} = m_2v_{2c} = \frac{m_1m_2v_1}{m_1 + m_2} | | p_{2c} = m_2v_{2c} = \frac{m_1m_2v_1}{m_1 + m_2} |
| $$ | | $$ |
| Импульсы равны по модулю, то противоположны по направлению. Значит суммарный импульс системе равен нулю, и, по Закону сохранения, импульсы после соударения равны между собой. Но по Закону сохранения энергии, импульсы равны что до соударения, что после. А это значит, что модуль скорости каждой частицы в СО центра масс не изменится. | | Импульсы равны по модулю, то противоположны по направлению. Значит суммарный импульс системе равен нулю, и, по Закону сохранения, импульсы после соударения равны между собой. Но по Закону сохранения энергии, импульсы равны что до соударения, что после. А это значит, что модуль скорости каждой частицы в СО центра масс не изменится. |
| | | |
| Теперь взглянем на рисунок векторов скорости: | | Теперь взглянем на рисунок векторов скорости: |
|  | |  |
| Как мы уже выяснили, что скорость частицы в СО центра масс не меняется, а значит этот вектор будет описывать окружность радиусом $v_{1c}$. Вектор $v_1$ есть сумма векторов $v_c$ и $v_{1c}$. Вектор скорости первой частицы будет направлен под неким углом к начальному направлению. И для случая $m_1>m_2$ у него будет максимальный угол, и, как видно из рисунка, вектор $v_1'$ должен походить по касательной к окружности. Тогда максимальный угол отклонения находится как: | | Как мы уже выяснили, что скорость частицы в СО центра масс не меняется, а значит этот вектор будет описывать окружность радиусом $v_{1c}$. Вектор $v_1$ есть сумма векторов $v_c$ и $v_{1c}$. Вектор скорости первой частицы будет направлен под неким углом к начальному направлению. И для случая $m_1>m_2$ у него будет максимальный угол, и, как видно из рисунка, вектор $v_1'$ должен походить по касательной к окружности. Тогда максимальный угол отклонения находится как: |
| $$ | | $$ |
| \sin \alpha_{max} = \frac{v_{1c}}{v_c} = \frac{m_2}{m_1} | | \sin \alpha_{max} = \frac{v_{1c}}{v_c} = \frac{m_2}{m_1} |
| $$ | | $$ |
| P.S. Если $m_1 < m_2$, то вектор $v_1$ будет лежать уже внутри окружности, а значит угол отклонения может быть любым. | | P.S. Если $m_1 < m_2$, то вектор $v_1$ будет лежать уже внутри окружности, а значит угол отклонения может быть любым. |
| | | |
| ### Альтернативное решение | | ### Альтернативное решение |
| | | |
|  | |  |
|  | |  |
| Решение приведено в журнале "Квант" №6 2023 | | Решение приведено в журнале "Квант" №6 2023 |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \sin \alpha_{max} =\frac{m_2}{m_1} | | \sin \alpha_{max} =\frac{m_2}{m_1} |
| $$ | | $$ |