Решение

Рассмотрим систему водоем и пузырь. Считаем, что в конечном состоянии движения в системе нет.

Тогда в тепло $Q$ перешло изменение потенциальной энергии $\Delta \Pi$.

$$Q=\Delta\Pi.$$

Величина $\Delta \Pi$, как видно, складывается из изменения потенциальной энергии пузыря $\Delta \Pi_\text{п}$ и изменения потенциальной энергии $\Delta \Pi_\text{вп}$ той части воды, которую замещает пузырь в конце (они как бы обмениваются местами). Другие же части водоема как бы остаются при своих потенциальных энергиях.

Тогда

$$\Delta\Pi=\left|\Delta\Pi_\text{п}+\Delta\Pi_\text{вп}\right|.$$

Слагаемые правой части распишем:

$$\Delta\Pi_\text{п}=\frac{4}{3}\pi R^3\rho_\text{п} gH\quad \text{и}\quad \Delta\Pi_\text{вп}=-\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH$$

где $\rho_\text{п}$ есть плотность воздуха в пузыре, $\rho$ есть плотность воды.

Так как $\rho_\text{п}\ll \rho$, то

$$\Delta \Pi=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH,$$

значит

$$Q=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH.$$

Примечание: можно показать с учетом присоединенной массы, что и при