4.2.22 | revision #16125 | Savchenko Solutions

Условие

4.2.22. Какое количество теплоты выделится в водоеме при всплывании в нем воздушного пузыря радиуса $м$R = 0{,}1~\text{м}$$ с глубины $м$H = 10~\text{м}$$ ?

Решение

Рассмотрим систему водоем и пузырь. Считаем, что в конечном состоянии движения в системе нет.

Тогда в тепло $$Q$$ перешло изменение потенциальной энергии $\Delta \Pi$ .

$Q=\Delta\Pi.$

Величина $\Delta \Pi$ , как видно, складывается из изменения потенциальной энергии пузыря $п$\Delta \Pi_\text{п}$$ и изменения потенциальной энергии $вп$\Delta \Pi_\text{вп}$$ той части воды, которую замещает пузырь в конце (они как бы обмениваются местами). Другие же части водоема как бы остаются при своих потенциальных энергиях [1].

Тогда

$пвп$$\Delta\Pi=\left|\Delta\Pi_\text{п}+\Delta\Pi_\text{вп}\right|.$$$

Слагаемые правой части распишем:

$ппивп$$\Delta\Pi_\text{п}=\frac{4}{3}\pi R^3\rho_\text{п} gH\quad \text{и}\quad \Delta\Pi_\text{вп}=-\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH,$$$

где $п$\rho_\text{п}$$ есть плотность воздуха в пузыре, $\rho$ есть плотность воды.

Так как $п$\rho_\text{п}\ll \rho$$ , то

$\Delta \Pi=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH,$

значит,

$Q=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH.$

Примечание: можно показать, что сразу после всплытия кинетическая энергия движения системы составляет малую часть от изменения ее потенциальной энергии [2] (см. про присоединенную массу).

Литература

[1] Г. Коткин. Всплывающий пузырёк и закон Архимеда. «Квант», 1976, № 1.

[2] Задача Ф2623. Задачник «Кванта». «Квант», 2020, № 11-12.

Альтернативное решение

Буду считать процесс всплытия пузыря изотермическим процессом. Пусть $P_{0}$ - давление на поверхности водоёма. Во время всплытия объём пузыря увеличивается, поскольку давление падает, поэтому радиус пузыря есть функция глубины погружения $$r=r(h)$$ . Запишем закон Бойля-Мариотта для двух состояний: на глубине $$H$$ и $$h$$

$(P_{0}+\rho gH)\frac{4}{3}\pi R^{3}=(P_{0}+\rho gh)\frac{4}{3}\pi r^{3}(h) \tag{1}$
$r^{3}(h)=\frac{P_{0}+\rho gH}{P_{0}+\rho gh}\cdot R^{3} \tag{2}$

Элементарная работа силы Архимеда по перемещению объёма пузыря на малую высоту $$dh$$ :

$dA=\frac{4}{3}\pi r^{3}(h)\cdot \rho g\cdot dh=\frac{4}{3}\pi\rho g\cdot \frac{P_{0}+\rho gH}{P_{0}+\rho gh}\cdot R^{3}\cdot dh \tag{3}$

Полная работа найдётся путём интегрирования по всей глубине:

$A=\frac{4}{3}\pi\rho g(P_{0}+\rho gH)R^{3}\cdot \int_{0}^{H}\frac{dh}{P_{0}+\rho gh} \tag{4}$

$A=\frac{4}{3}\pi R^{3}(P_{0}+\rho gH)\cdot \ln\frac{P_{0}+\rho gH}{P_{0}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}P_{0}\left( 1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\cdot\ln\left(1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right) \tag{5}$

Эта работа будет равна выделенной теплоте:

$Q=A=\frac{4}{3}\pi R^{3}P_{0}\left( 1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\cdot\ln\left(1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right) \tag{6}$

Теперь предположим, что $\frac{\rho gH}{P_{0}}\ll 1$ , тогда

$\ln\left(1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\approx \frac{\rho gH}{P_{0}}$

$\left( 1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\approx 1$

Тогда выражение (6) преобразуется:

$Q=\frac{4}{3}\pi R^{3}P_{0}\cdot\frac{\rho gH}{P_{0}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho gH$

Ответ

$Q=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH,$

где $\rho$ есть плотность воды.