Решение

Проектируем $m\vec{g}$ на $OY$:

Из рисунка, найдем силу реакции опоры:

$$N=mg \cos\alpha$$

По Закону Амонтона — Кулона:

$$F_{тр}=\mu N=\mu mg \cos\alpha$$

Т.к. $\mu = \tan\alpha$ (по условию):

$$F_{тр}=\mu mg \cos\alpha$$

$$F_{тр}=mg \cdot \tan\alpha\cdot \cos\alpha =mg \sin\alpha$$

$$F=mg \sin\alpha$$

Перерисуем в плоскости $XY$ В начальный момент $(\varphi=90^{\circ})$:

В конечный момент $(\varphi=0^{\circ})$:

Рассмотрим, произвольный момент:

Заметим, что $\varphi$ меняется от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$:

Запишем второй закон Ньютона:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{du_x}{dt} = -\frac{F \sin \varphi }{m}& \\ \frac{du_y}{dt} = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & \end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix} \frac{d}{dt} (u \sin\varphi)= -\frac{F \sin \varphi }{m}& \\ \frac{d}{dt} (u \cos\varphi) = \frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & \end{matrix}\right.$$

Решаем систему дифференциальных уравнений:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{d\varphi}{dt} = -\frac{F \sin \varphi }{mu}& (a)\\ \frac{du}{dt} = -\frac{F (1- \cos \varphi) }{m} & (b) \end{matrix}\right.$$

Разделим $(b)$ на $(a)$:

$$\frac{du}{d\varphi} = u\frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi}$$

$$\frac{du}{u} = \frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi} d\varphi$$

$$\frac{du}{u} = tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi$$

Интегрируем обе части уравнения:

$$\int \frac{du}{u} = \int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi \tag{c}$$

$$\int\frac{du}{u}=ln|u| \tag{d}$$

$$\int tg (\frac{\varphi}{2}) d\varphi=-2 ln(\cos(\frac{x}{2})) \tag{e}$$

Подставляем $(e)$ и $(d)$ в $(c)$:

$$ln(v)+C=ln(\sin(\varphi)) -(ln(\sin(\frac{\varphi}{2})-\cos(\frac{\varphi}{2})))\tag{e}$$

$$v_x=\frac{v}{2}$$