Решение задач из Савченко О.Я.

    <div id="1" class="row odd">
      <div class="col col-lg-12">
        <h3> Условие: </h3>
        <div class="task">
          <p> \\(2.1.22.\\) Через какое время скорость тела, которому сообщили вверх по наклонной плоскости скорость $v$, снова будет равна $v$? Коэффициент трения $µ$, угол

        <hr>
        <h3> Решение: </h3>
        <center>
         <div class="StatementDiv"><img class="Statement" src="sol.jpg"></div></center>

    <div class="solutions">
    <p class="TxtSolutions">   Тело на наклонной плоскости находится под действием трёх сил: силы тяжести $\vec{F}_{1} = m \vec{g}$, силы трения $\vec{F}_{2} = - \mu mg$ и нормальной реакции связи $\vec{N}$, однако, при дальнейшем рассмотрении движения нормальную реакцию можно не рассматривать, т.к. её проекция на горизонтальную ось, вдоль которой движется тело, равна нулю.  <br><br>

    Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось ОХ при движении тела вверх в векторной форме запишется следующим образом  <br><br>
    <center>$\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = m \vec{a}$ <br><br>
    </center>
    

    Определим проекции действующих сил на ось ОХ и запишем уравнение второго закона Ньютона  <br><br>

    <center>$F_{1x} = mg \sin \alpha, F_{2x} = \mu mg \cos \alpha$ <br><br>
    </center>
    
    <center>
    $\mu mg \cos \alpha + mg \sin \alpha = ma$.  <br><br>
    </center>
    Поделим обе части последнего уравнения на массу $m$ и выразим величину ускорения  <br><br>
    <center>
    $a = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha )$.  <br><br>
    </center>
    Время движения тела вверх $t_1$ определится из условия равенства нулю скорости в конце подъёма  <br><br>
    <center>
    $0 = v_{0} - at \Rightarrow t_{1} = \frac{v_{0} }{a} = \frac{v_{0} }{g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) }$ <br><br>
    </center>
    Движению тела вниз соответствует уравнение  <br><br>
    <center>
    $mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha = ma$ <br><br>
    </center>
    <center>
    $a = g( \sin \alpha - \mu \cos \alpha )$ <br><br>
    </center>
    Скорость станет равной $v_0$ только в конце спуска, потому как закона сохранения энергии никто не отменял, поэтому  <br><br>
    <center>
    $\frac{dv}{dt} = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha  )$ <br><br>
    $\int_{0}^{v_{0} } dv = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) = \int_{0}^{t_{2} } dt$ <br><br>
    $t_{2} = \frac{v_{0} }{g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha  ) }$ <br><br>
    </center>
    Искомое время определится в виде суммы $t = t_{1} + t_{2}$ <br><br><center>
    $t = \frac{2v_{0} \sin \alpha }{g( \sin^{2} \alpha - \mu^{2} \cos^{2} \alpha )}$ <br><br>
    </center>
  </div>   

        <h3> Ответ: $a_{макс} = g(µ cos \\,α − sin \\,α)$</h3>
        
      </div>
    </div>

  </div>
  <a href="#" class="back-to-top affix"> ↑ наверх </a>
</div>
</div>
<footer class="row container">
  <div class="col col-lg-3">
    <div class="footer-left">
      <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, &nbsp;&nbsp;&nbsp; 2023-2024 <br>
        </small>
      </p>
    </div>
  </div>
  <div class="col col-lg-6">
    <div class="footer-middle">
      <p>
        <small> Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br>
          <i>E = mc <sup>2</sup>
          </i>. </small>
      </p>
    </div>
  </div>
  <div class="col col-lg-3">
    <div class="footer-right">
      <div class="pull-right"></div>
    </div>
  </div>
</footer>
<script type="text/javascript" src="/js/bootstrap-affix.js"></script>
<script type="text/javascript">
  $(function() {
    setTimeout(function() {
      $('.back-to-top').affix();
    }, 100);
  });
</script>