<h3 id="back-link"><a href="/">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
     $2.1.57.$ На гладкое проволочное кольцо радиуса $R$, расположенное вертикально, надета маленькая бусинка. Кольцо вращается с угловой скоростью $ω$ вокруг вертикальной оси, проходящей по диаметру кольца. Где находится бусинка?
   </p>
    <center>
      <figure>
        <img src="statement.png"
          loading="lazy" width="150" />
        <figcaption>
        	К задаче 2.1.57
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

  <h3> Решение: </h3>
    <center>
      <figure>
        <img src="draw.png"
          loading="lazy" width="280" />
        <figcaption>
           Силы, действующие на кольцо
        </figcaption>
      </figure>
    </center>
    <p>
    	Проецируя силу натяжения нити $T$, записываем второй закон Ньютона на вертикальную и горизонтальную оси:
    	$$T \sin \alpha = ma_{ц}$$
    	$$mg - T \cos \alpha = 0$$
    	Отсюда 
    	$$mg \tan \alpha = ma_{ц}\\;(1)$$
    	Найдем центростремительное ускорение через угловую скорость вращения $\omega$
    	$$a_{ц} = \omega ^2 r = \omega ^2 R \sin \alpha$$
    	Подставляем в $(1)$
    	$$g = \omega ^2 R \cos \alpha$$
    	Откуда находим $\alpha$
    	$$\boxed{\cos α = \frac{g}{ω^2 R}}$$
    	Учитывая область определения косинуса 
    	$$-1 \leq \cos \alpha \leq 1$$
    	При $g > ω^2 R$, угловой скорости уже не будет хватать, чтобы поднять тело на какой-то угол и тело займет устойчивое положение в низшей точке своей траектории, соответствующей 
    	$$\boxed{\alpha = 0}$$
    </p>

     <h3> Ответ: </h3>
     <p>
     	$\cos α = g/(ω^2 R)$ при $g/(ω^2 R) < 1;$ 
	</p>
     <p>
     	$α = 0$ при $g/(ω^2 R) > 1$
	</p>


<footer class="row container">
    <br>

    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small>
    </p>
</footer>