Решение

Цепь а

Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа:

\begin{gather*} I_L+I_1=I_R,\tag{1}\\ L\frac{dI_L}{dt}=0,\tag{2}\\ I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3} \end{gather*}

где $I_L$ есть ток в катушке, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнение $(1)$ записано для, например, верхнего узла цепи, уравнение $(2)$ — для левого контура цепи, $(3)$ — для правого контура.)

Из $(3)$:

$$I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t.$$

Из $(2)$:

$$I_L=C$$

где $C$ есть константа интегрирования. Эта константа определяется начальными условиями. В момент образования цепи ток в катушке обозначим $I_{L0}$, тогда $C=I_{L0}$ [1]. Значит:

$$I_L=I_{L0}.$$

Из $(1)$:

$$I_1=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t-I_{L0}.$$

Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений [1]:

$$P=\bar{I}^2_{\!R}R,$$

где $\bar{I}_{\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор.

Тогда

$$P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.$$

Цепь б

Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа:

\begin{gather*} I_C+I_1=I_R,\tag{1}\\ U_C=\mathscr E_0\cos\omega t-\mathscr E_0\sin\omega t,\tag{2}\\ I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3} \end{gather*}

где $I_C$ есть ток в конденсаторе, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнения записаны тем же способом, как и в пункте а; заряд левой обкладки конденсатора считается положительным [1])

Из $(3)$:

$$I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t.$$

Ток через емкость

$$I_C=\dot{q}_C.$$

где $q_C$ есть заряд конденсатора.

Тогда с учетом $(2)$:

$$I_C=\frac{d}{dt}\Big(C\left(\mathscr E_0\cos\omega t-\mathscr E_0\sin\omega t\right)\Big);$$

после дифференцирования

$$I_C=-\mathscr E_0\omega C\left(\sin\omega t+\cos\omega t\right).$$

Из $(1)$:

$$I_1=\left(\frac{1}{R}+\omega C\right)\mathscr E_0\sin\omega t+\mathscr E_0\omega C\cos\omega t.$$

Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений:

$$P=\bar{I}^2_{\!R}R,$$

где $\bar{I}_{\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор.

Тогда

$$P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.$$