Edits to “Цепь а”, “Цепь б”, “Литература”
ru/11.4.17.md
+8 −6
| ### Условие | |||
| $11.4.17.$ Найдите установившиеся токи в электрических цепях, изображенных на рисунке. Внутреннее сопротивление источников напряжения равно нулю. Определите среднюю мощность, выделяющуюся в цепях, если $E_0 = 200~\text{В}$, $R = 100~\text{Ом}$, $C = $10$^{−4}~\text{Ф}$, $L = 1~\text{Гн}$. Частота напряжения источника $\nu = \omega/2\pi = 50~\text{ц}$. | |||
|  | |||
| ### Решение | |||
| #### Цепь а | |||
| Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа: | |||
| \begin{gather*} | |||
| I_L+I_1=I_R,\tag{1}\\\\ | |||
| L\frac{dI_L}{dt}=0,\tag{2}\\\\ | |||
| I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3} | |||
| \end{gather*} | |||
| где $I_L$ есть ток в катушке, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнение $(1)$ записано для, например, верхнего узла цепи, уравнение $(2)$ — для левого контура цепи, $(3)$ — для правого контура.) | |||
| Из $(3)$: | |||
| $$ | |||
| I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t. | |||
| $$ | |||
| @@ -29,10 +29,10 @@Цепь а | |||
| Из $(2)$: | |||
| $$ | |||
| − | I_L= | ||
| + | I_L=B | ||
| $$ | |||
| − | где $ | ||
| + | где $B$ есть константа интегрирования. Эта константа определяется начальными условиями. В момент образования цепи ток в катушке обозначим $I_{L0}$, тогда $B=I_{L0}$ [1]. Значит: | ||
| $$ | |||
| I_L=I_{L0}. | |||
| $$ | |||
| Из $(1)$: | |||
| $$ | |||
| I_1=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t-I_{L0}. | |||
| $$ | |||
| Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений [1]: | |||
| $$ | |||
| P=\bar{I}^2_{\\!R}R, | |||
| $$ | |||
| где $\bar{I}_{\\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор. | |||
| Тогда | |||
| $$ | |||
| P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}. | |||
| $$ | |||
| #### Цепь б | |||
| Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа: | |||
| \begin{gather*} | |||
| I_C+I_1=I_R,\tag{1}\\\\ | |||
| U_C=\mathscr E_0\cos\omega t-\mathscr E_0\sin\omega t,\tag{2}\\\\ | |||
| I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3} | |||
| \end{gather*} | |||
| где $I_C$ есть ток в конденсаторе, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнения записаны тем же способом, как и в пункте а; заряд левой обкладки конденсатора считается положительным [1]) | |||
| Из $(3)$: | |||
| $$ | |||
| I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t. | |||
| $$ | |||
| Ток через емкость | |||
| $$ | |||
| I_C=\dot{q}_C. | |||
| $$ | |||
| где $q_C$ есть заряд конденсатора. | |||
| Тогда с учетом $(2)$: | |||
| $$ | |||
| I_C=\frac{d}{dt}\Big(C\left(\mathscr E_0\cos\omega t-\mathscr E_0\sin\omega t\right)\Big); | |||
| $$ | |||
| после дифференцирования | |||
| $$ | |||
| I_C=-\mathscr E_0\omega C\left(\sin\omega t+\cos\omega t\right). | |||
| $$ | |||
| @@ -100,7 +100,7 @@Цепь б | |||
| Из $(1)$: | |||
| $$ | |||
| − | I_1=\left(\frac{1}{R}+\omega C\right) | ||
| + | I_1=\mathscr E_0\left(\frac{1}{R}+\omega C\right)\sin\omega t+\mathscr E_0\omega C\cos\omega t. | ||
| $$ | |||
| Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений: | |||
| $$ | |||
| P=\bar{I}^2_{\\!R}R, | |||
| $$ | |||
| где $\bar{I}_{\\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор. | |||
| Тогда | |||
| $$ | |||
| P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}. | |||
| $$ | |||
| @@ -120,9 +120,11 @@Цепь б | |||
| #### Литература | |||
| − | [1] | ||
| + | [1] В. В. Можаев. Катушки индуктивности в электрических цепях. «Квант», 2005, №4. | ||
| + | [2] И. В. Яковлев. Физика. МЦНМО. 2021. | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| а. | |||
| \begin{gather*} | |||
| I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t,\\\\ | |||
| I_L=I_{L0},\\\\ | |||
| I_1=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t-I_{L0},\\\\ | |||
| P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}. | |||
| \end{gather*} | |||
| где $I_{L0}$ есть ток в катушке в момент образования цепи; $I_1$ есть ток в средней ветви. | |||
| б. | |||
| @@ -140,7 +142,7 @@Ответ | |||
| \begin{gather*} | |||
| I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t,\\\\ | |||
| − | I_C= | ||
| − | I_1=\left(\frac{1}{R}+\omega C\right) | ||
| + | I_C=-\mathscr E_0\omega C\left(\sin\omega t+\cos\omega t\right),\\\\ | ||
| + | I_1=\mathscr E_0\left(\frac{1}{R}+\omega C\right)\sin\omega t+\mathscr E_0\omega C\cos\omega t,\\\\ | ||
| P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}. | |||
| \end{gather*} | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $11.4.17.$ Найдите установившиеся токи в электрических цепях, изображенных на рисунке. Внутреннее сопротивление источников напряжения равно нулю. Определите среднюю мощность, выделяющуюся в цепях, если $E_0 = 200~\text{В}$, $R = 100~\text{Ом}$, $C = $10$^{−4}~\text{Ф}$, $L = 1~\text{Гн}$. Частота напряжения источника $\nu = \omega/2\pi = 50~\text{ц}$. | $11.4.17.$ Найдите установившиеся токи в электрических цепях, изображенных на рисунке. Внутреннее сопротивление источников напряжения равно нулю. Определите среднюю мощность, выделяющуюся в цепях, если $E_0 = 200~\text{В}$, $R = 100~\text{Ом}$, $C = $10$^{−4}~\text{Ф}$, $L = 1~\text{Гн}$. Частота напряжения источника $\nu = \omega/2\pi = 50~\text{ц}$. | ||
|  |  | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| #### Цепь а | #### Цепь а | ||
| Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа: | Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа: | ||
| \begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
| I_L+I_1=I_R,\tag{1}\\\\ | I_L+I_1=I_R,\tag{1}\\\\ | ||
| L\frac{dI_L}{dt}=0,\tag{2}\\\\ | L\frac{dI_L}{dt}=0,\tag{2}\\\\ | ||
| I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3} | I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3} | ||
| \end{gather*} | \end{gather*} | ||
| где $I_L$ есть ток в катушке, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнение $(1)$ записано для, например, верхнего узла цепи, уравнение $(2)$ — для левого контура цепи, $(3)$ — для правого контура.) | где $I_L$ есть ток в катушке, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнение $(1)$ записано для, например, верхнего узла цепи, уравнение $(2)$ — для левого контура цепи, $(3)$ — для правого контура.) | ||
| Из $(3)$: | Из $(3)$: | ||
| $$ | $$ | ||
| I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t. | I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t. | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -29,10 +29,10 @@Цепь а | |||
| Из $(2)$: | Из $(2)$: | ||
| $$ | $$ | ||
| I_L= |
I_L=B | ||
| $$ | $$ | ||
| где $ |
где $B$ есть константа интегрирования. Эта константа определяется начальными условиями. В момент образования цепи ток в катушке обозначим $I_{L0}$, тогда $B=I_{L0}$ [1]. Значит: | ||
| $$ | $$ | ||
| I_L=I_{L0}. | I_L=I_{L0}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Из $(1)$: | Из $(1)$: | ||
| $$ | $$ | ||
| I_1=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t-I_{L0}. | I_1=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t-I_{L0}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений [1]: | Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений [1]: | ||
| $$ | $$ | ||
| P=\bar{I}^2_{\\!R}R, | P=\bar{I}^2_{\\!R}R, | ||
| $$ | $$ | ||
| где $\bar{I}_{\\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор. | где $\bar{I}_{\\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор. | ||
| Тогда | Тогда | ||
| $$ | $$ | ||
| P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}. | P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}. | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Цепь б | #### Цепь б | ||
| Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа: | Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа: | ||
| \begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
| I_C+I_1=I_R,\tag{1}\\\\ | I_C+I_1=I_R,\tag{1}\\\\ | ||
| U_C=\mathscr E_0\cos\omega t-\mathscr E_0\sin\omega t,\tag{2}\\\\ | U_C=\mathscr E_0\cos\omega t-\mathscr E_0\sin\omega t,\tag{2}\\\\ | ||
| I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3} | I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3} | ||
| \end{gather*} | \end{gather*} | ||
| где $I_C$ есть ток в конденсаторе, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнения записаны тем же способом, как и в пункте а; заряд левой обкладки конденсатора считается положительным [1]) | где $I_C$ есть ток в конденсаторе, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнения записаны тем же способом, как и в пункте а; заряд левой обкладки конденсатора считается положительным [1]) | ||
| Из $(3)$: | Из $(3)$: | ||
| $$ | $$ | ||
| I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t. | I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t. | ||
| $$ | $$ | ||
| Ток через емкость | Ток через емкость | ||
| $$ | $$ | ||
| I_C=\dot{q}_C. | I_C=\dot{q}_C. | ||
| $$ | $$ | ||
| где $q_C$ есть заряд конденсатора. | где $q_C$ есть заряд конденсатора. | ||
| Тогда с учетом $(2)$: | Тогда с учетом $(2)$: | ||
| $$ | $$ | ||
| I_C=\frac{d}{dt}\Big(C\left(\mathscr E_0\cos\omega t-\mathscr E_0\sin\omega t\right)\Big); | I_C=\frac{d}{dt}\Big(C\left(\mathscr E_0\cos\omega t-\mathscr E_0\sin\omega t\right)\Big); | ||
| $$ | $$ | ||
| после дифференцирования | после дифференцирования | ||
| $$ | $$ | ||
| I_C=-\mathscr E_0\omega C\left(\sin\omega t+\cos\omega t\right). | I_C=-\mathscr E_0\omega C\left(\sin\omega t+\cos\omega t\right). | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -100,7 +100,7 @@Цепь б | |||
| Из $(1)$: | Из $(1)$: | ||
| $$ | $$ | ||
| I_1=\left(\frac{1}{R}+\omega C\right) |
I_1=\mathscr E_0\left(\frac{1}{R}+\omega C\right)\sin\omega t+\mathscr E_0\omega C\cos\omega t. | ||
| $$ | $$ | ||
| Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений: | Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений: | ||
| $$ | $$ | ||
| P=\bar{I}^2_{\\!R}R, | P=\bar{I}^2_{\\!R}R, | ||
| $$ | $$ | ||
| где $\bar{I}_{\\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор. | где $\bar{I}_{\\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор. | ||
| Тогда | Тогда | ||
| $$ | $$ | ||
| P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}. | P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}. | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -120,9 +120,11 @@Цепь б | |||
| #### Литература | #### Литература | ||
| [1] |
[1] В. В. Можаев. Катушки индуктивности в электрических цепях. «Квант», 2005, №4. | ||
| [2] И. В. Яковлев. Физика. МЦНМО. 2021. | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| а. | а. | ||
| \begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
| I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t,\\\\ | I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t,\\\\ | ||
| I_L=I_{L0},\\\\ | I_L=I_{L0},\\\\ | ||
| I_1=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t-I_{L0},\\\\ | I_1=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t-I_{L0},\\\\ | ||
| P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}. | P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}. | ||
| \end{gather*} | \end{gather*} | ||
| где $I_{L0}$ есть ток в катушке в момент образования цепи; $I_1$ есть ток в средней ветви. | где $I_{L0}$ есть ток в катушке в момент образования цепи; $I_1$ есть ток в средней ветви. | ||
| б. | б. | ||
| @@ -140,7 +142,7 @@Ответ | |||
| \begin{gather*} | \begin{gather*} | ||
| I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t,\\\\ | I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t,\\\\ | ||
| I_C= |
I_C=-\mathscr E_0\omega C\left(\sin\omega t+\cos\omega t\right),\\\\ | ||
| I_1=\left(\frac{1}{R}+\omega C\right) |
I_1=\mathscr E_0\left(\frac{1}{R}+\omega C\right)\sin\omega t+\mathscr E_0\omega C\cos\omega t,\\\\ | ||
| P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}. | P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}. | ||
| \end{gather*} | \end{gather*} | ||