12.1.12 | revision #17788 | Savchenko Solutions

Условие

12.1.12. а. Вокруг движущегося заряженного тела возникает магнитное поле, а вокруг неподвижного — нет. Поэтому при мгновенной остановке двигавшегося тела магнитное поле станет «лишним». Оно превращается в электромагнитные волны. Таким образом, процесс излучения электромагнитных волн
можно рассматривать как процесс появления «лишних» полей при изменении скорости заряженного тела. Особенно просто этот процесс описывается для случая
плоского конденсатора. Если заряженный конденсатор движется со скоростью $$v$$
параллельно своим пластинам, то индукция магнитного поля $$B$$ в нем связана с
напряженностью электрического поля $$E$$ соотношением $$B = (v/c^2 )E$$ . При мгновенной остановке конденсатора это магнитное поле можно считать суммой двух
электромагнитных волн с индукцией $$B/2$$ , движущихся в противоположных направлениях перпендикулярно пластинам.

а. Определите напряженность электрического поля в каждой волне.

б $$^*$$ . Какова энергия волны, испущенной зарядом $$Q$$ , равномерно распределенным по движущейся сфере радиуса $$r$$ , при ее мгновенной остановке? Скорость
сферы до остановки $$v$$ .

в. Напряжение, приложенное к двум проводам, разделенным воздушным промежутком, повышали до тех пор, пока между ними не проскочила искра, в результате чего в проводах возникли колебания тока, приведшие к появлению электромагнитных волн. Оцените, во сколько раз должна увеличиться мощность электромагнитных волн, если напряжение пробоя увеличить в два раза.

Решение

а. Связь между напряжённостью и индукцией излучения:
$излизл$$B_{изл} = \frac{E_{изл}}{c}$$$
Связь индукции излучения с индукцией подвижного конденсатора:
$изл$$B_{изл} = \frac{1}{2}B$$$
Тогда напряжённость излучения при мгновенном торможении:
$изл$$E_{изл} = \frac{v}{2c}E$$$
б. Энергия магнитного поля при мгновенной остоановке переходит в энергию излучения. Энергия магнитного поля в элементарном объёме:
$dW = \frac{B^2}{2\mu_0}dV$
Индукция подвижного заряда:
$B = \frac{\mu_0Q}{4\pi}\frac{v\sin{\alpha}}{r^2}$
Элементарный объём в сферических координатах:
$dV = r^2 \sin{\alpha}dr d\alpha d\varphi$
Тогда энергия равна:
$W = \frac{\mu_0Q^2v^2}{32\pi^2} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{R}^{\infty}\frac{\sin{\alpha}^3}{r^2} dr d\alpha d\varphi = \frac{Q^2}{12\pi \varepsilon_0R}(\frac{v}{c})^2$
в. Напряженность «лишних» полей увеличится в два раза. Излучаемая энергия пропорциональна квадрату напряженности. Поэтому мощность излучения увеличится в четыре раза.

Ответ

а. $изл$$\boxed{E_{изл} = \frac{v}{2c}E}$$$
б. $\boxed{W = \frac{Q^2}{12\pi \varepsilon_0R}(\frac{v}{c})^2}$
в. Мощность излучения увеличится в четыре раза.